Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАНННЯ

§ 37 ПОХІДНА СКЛАДЕНОЇ ФУНКЦІЇ

Ви вже вмієте знаходити похідні функцій, аргументами яких є змінна х, наприклад, у = х⁸; у = sin х; у = tg x. Як знайти похідні функцій, аргументами яких є інші функції, наприклад

тощо, які називають складеними, дізнаємося в цьому параграфі.

1. Складена функція

Нехай треба обчислити значення функції у = f(х) = у точці х = 6. Зазвичай, спочатку обчислюють значення виразу 4х + 1 для х = 6, тобто 4 · 6 + 1 = 25, а потім з отриманого числа до бувають арифметичний квадратний корінь, тобто = 5. Отже, f(6) = 5.

Якщо позначити u(х) - 4х + 1, а g(u) = , то

У такому випадку кажуть, що f(х) - складена функція, а u(х) - її внутрішня функція (або проміжний аргумент).

Наприклад, для функції

Внутрішньою функцією є

а для функції t(х) = sin³ х (яку ще можна записати так: t(х) = (sin х)³) внутрішньою функцією є u(х) = sin х.

2. Похідна складеної функції

Теорема 1 (похідна складеної функції). Якщо функція u(х) має похідну в точці х, а функція f(u) має похідну в точці u = u(х), то складена функція у = f(u(х)) має похідну в точці х, причому

Доведення. Оскільки за умовою функція u(х) має похідну в точці х₀, то вона неперервна в цій точці. Тобто для незначної зміни аргументу в точці х₀ відповідне значення функції u(х) також майже не змінюється, тобто при ∆х → 0 маємо: ∆u → 0.

З рівності

отримаємо:

Тоді

Нехай ∆u ≠ 0 в деякому околі точки х0. Тоді можна записати так:

При ∆х → 0 матимемо:

а при ∆u → 0 матимемо:

Отже, при ∆х → 0 (й відповідно ∆u → 0) маємо:

Приклад 1. Знайти похідну функції:

Розв’язання.

Приклад 2. Знайти похідну функції

Розв’язання. Це складена функція

Тоді

Можна записувати коротко:

Відповідь. 16(х + 2)(х² + 4х)⁷.

Приклад 3. Знайти похідну функції

Розв’язання. Це складена функція у = u^-4, де u = х⁵ - 1.

Тоді

Відповідь.

Приклад 4. Знайти похідну функції у = sin² х. Розв’язання, у = (sin х)², тобто у = u², де u = sin х. Отже, у' = 2u · u' = 2 sin х (sin х)' = 2sin х соs х = sin 2х. Відповідь. sin 2х.

Приклад 5. На графіку функції

Знайти точку, у якій дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 45°.

Розв’язання. 1) у(х) = (0,5х - 1)^-2 - складена функція. Тоді

2) Нехай х₀ - абсциса шуканої точки, тоді у'(х₀) = tg 45° = 1, тобто

Маємо: (1 - 0,5х₀)³ = 1, звідки х₀ = 0, тоді

отже, (0; 1) - шукана точка.

Відповідь. (0; 1).

• Поясніть на прикладах, які функції називають складеними, та назвіть внутрішню функцію для кожного з прикладів.

• Сформулюйте теорему про похідну складеної функції.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Які з функцій є складеними (37.1—37.2):

37.1.

37.2.

Чи правильно знайдено похідну (37.3—37.4):

37.3.

37.4.

2. Знайдіть похідну функції (37.5—37.8):

37.5.

37.6.

37.7.

37.8.

Знайдіть f'(х₀), якщо (37.9—37.10):

37.9.

37.10.

37.11. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції

у точці з абсцисою х₀ = 4.

37.12. Знайдіть тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної до графіка функції

у точці з абсцисою х₀ = -16.

3. За формулою похідної складеної функції знайдіть похідну функції (37.13—37.14):

37.13.

37.14.

37.15. Розв’яжіть рівняння f'(x) = 0, якщо f(х) = (х² - 4х)⁶.

37.16. Розв’яжіть рівняння g'(х) = 0, якщо g(х) = (х² + 6х)⁷.

Знайдіть похідну функції (37.17—37.18):

37.17.

37.18.

Знайдіть g'(x0), якщо (37.19—37.20):

37.19.

37.20.

Складіть рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х₀ (37.21—37.22):

37.21.

37.22.

Знайдіть похідну функції, попередньо спростивши її формулу (37.23—37.24):

37.23.

37.24.

37.25. Розв’яжіть рівняння f'(x) = 0, якщо

37.26. Розв’яжіть рівняння g'(x) = 0, якщо

4. 37.27. Складіть рівняння дотичної до графіка функції

у точці його перетину з віссю ординат.

37.28. Складіть рівняння дотичної до графіка функції

у точці його перетину з віссю ординат.

Знайдіть кут між віссю абсцис і дотичною до графіка функції f(х) у точці х₀ (37.29-37.30):

37.29.

37.30.

Розв’яжіть рівняння f'(х) = 0, якщо (37.31—37.32):

37.31.

37.32.

37.33. Складіть рівняння дотичної до графіка функції

якщо її кутовий коефіцієнт k = 2.

37.34. Складіть рівняння дотичної до графіка функції

якщо її кутовий коефіцієнт k = 3.

37.35. Знайдіть площу трикутника, обмеженого осями координат і дотичною до графіка функції

проведеною в точці з абсцисою х₀ = 2.

37.36. Обчисліть площу трикутника, обмеженого осями координат і дотичною до графіка функції

проведеною в точці з абсцисою х₀ = 3. Знайдіть похідну функції (37.37-37.38):

37.37.

37.38.

37.39. Задача-дослідження. Відомо, що похідні деяких парних функцій є функціями непарними, наприклад, (х²)'= 2х; (cos x)' = -sin x; а похідні деяких непарних функцій є функціями парними, наприклад, (х³)' = 3х²; (sin x)' = cos x. Чи можна дійти висновку про те, що: похідна парної функції є функцією непарною, а похідна непарної функції є функцією парною?

37.40. Знайдіть координати точки перетину двох дотичних до графіка функції у(х) = cos х, перша з яких проведена в точці з абсцисою х = , а друга - у точці з абсцисою х = .

37.41. Знайдіть координати точки перетину двох дотичних до графіка функції у(х) = sin 3х, перша з яких проведена в точці з абсцисою х = , а друга - у точці з абсцисою х = .

37.42. Студент Олексій отримав свій перший гонорар за виконаний переклад в розмірі 1000 гривень. Він вирішив на всю суму купити букет троянд для своєї вчительки англійської мови Марини Едуардівни. Яку найбільшу кількість троянд зможе купити студент, якщо утриманий з нього податок на доходи та військовий збір склали відповідно 18 % і 1,5 % від гонорару, одна троянда коштує 50 грн, а букет має містити непарну кількість квітів?

37.43. (Національна олімпіада Чехословаччини, 1962 р.). Знайдіть усі цілі значення х, при яких многочлен 2х² - х - 36 набуває значень, що дорівнюють квадратам простих чисел.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

37.44. Функцію у = f(х) задано на проміжку [-6; 6] (мал. 37.1). Укажіть проміжки зростання та проміжки спадання функції f(х).

37.45. Схематично зобразивши графік функції, знайдіть її проміжки зростання і проміжки спадання.

Мал. 37.1