Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАНННЯ

§ 36 ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ. ТАБЛИЦЯ ПОХІДНИХ

У цьому параграфі розглянемо основні правила диференціювання та похідні степеневих і тригонометричних функцій. Для спрощення записів замість u(х); u'(х); (х); '(х) тощо писатимемо u; u'; ; ' тощо.

1. Основні правила диференціювання

Нехай функції u і диференційовні в точці х. Тоді їх сума і різниця також диференційовні в точці х.

Правило 1.

(похідна суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) похідних).

Доведення. Нехай f = u + . Тоді:

Аналогічно можна довести, що (u - )' = u' - '. Отже, (u ± )' = u' ± '.

Наслідок. Похідна суми трьох і більше доданків дорівнює сумі похідних:

Приклад 1.

Розглянемо правило диференціювання добутку.

Правило 2.

Приймемо цей факт без доведення.

Наслідок. (Сu)' = Сu', де С — стала (сталий множник можна виносити за знак похідної).

Доведення.

Приклад 2.

Знайти рівняння дотичної до графіка функції f(х) = х ² + 4х + 7, яка проходить через точку А(-1; 0).

Розв’язання. Оскільки f(-1) = 4 ≠ 0, то точка А не належить графіку даної функції. Нехай (х₀; f(х₀)) - точка дотику, тоді f(х₀) = х₀² + 4х₀ + 7. Оскільки f'(x) = 2х + 4, то f'(х₀) = 2х₀ + 4.

У рівняння дотичної у = f(х₀) + f'(х₀)(х - х₀) підставимо отримані для f(х₀) та fx'(х₀) вирази:

у = х₀² + 4х₀ + 7 + (2х₀ + 4)(х - х₀).

Оскільки точка А(-1; 0) належить дотичній, то її координати задовольняють рівняння дотичної, маємо:

0 = x₀² + 4х₀ + 7 + (2х₀ + 4)(-1 - x₀))

або після спрощень: х₀² + 2х₀ — 3 = 0. Звідси х₀ = 1 або х₀ = -3. Отже, таких дотичних буде дві.

1) Якщо х₀ = 1, маємо рівняння дотичної: y = 1²+ 4 - 1 + 7 +(2 · 1 + 4)(х - 1), тобто у = 6х + 6.

2) Якщо х₀ = -3, маємо рівняння дотичної: у = 9 - 12 + 7 + (2 · (-3) + 4)(х + 3), тобто у = -2х - 2.

Відповідь. у = 6х + 6; у = - 2х - 2.

Розглянемо правило диференціювання частки.

Правило 3.

Доведення. Можна довести в той самий спосіб, яким довели правило 1, але використаємо інший спосіб.

Нехай f = , звідки u = f, тому u' = f' + 'f.

Тоді f' = u' - 'f, тобто

Приклад 4.

2. Похідна степеневої функції

Ми знаємо, що х' = 1 = 1 · х⁰; (х²)' = 2х = 2х¹, (х³) = 3х².

За Формулою похідної добутку:

Аналогічно:

Можна помітити таку закономірність для натурального п:

Приймемо цей факт без доведення.

Нехай тепер f(х) = хⁿ, де n - ціле від’ємне число. Тоді (-n) - число натуральне. Маємо:

Отже, у цьому випадку також (хⁿ)' = nх^n-1 . Маємо: для будь-якого цілого n і будь-якого x (х ≠ 0 при n ≤ 1):

Похідну степеневої функції з дробовим показником знаходять за цією самою формулою (детально про це в 11 класі).

Приклад 5.

Приклад 6. Знайти похідну функції f(х) = у точці х₀ = -1.

Розв’язання. Оскільки

Відповідь. -6.

3. Похідні тригонометричних функцій

Щоб довести формули для похідних синуса і косинуса, розглянемо

Складемо таблицю значень функції f(а) = для точок, близьких до точки 0 з точністю 10^-7 (при цьому можна використати калькулятор або комп’ютер).

Аналізуючи значення в таблиці, маємо:

Теорема 1 (похідна синуса). Для х ∈ R

(sin x)' = cos x.

Доведення. Нехай f(х) = sin х. Тоді:

Якщо ∆х → 0, то й → 0, а тому

Отже, (sin x)' = cos x.

Теорема 2 (похідна косинуса). Для кожного x ∈ R (соs х)' = -sin х.

Доведення аналогічне доведенню теореми 1.

Теорема 3 (похідна тангенса). Для кожного де з області визначення функції тангенса

Доведення. Ураховуючи, що

за формулою похідної частки маємо:

Отже,

Теорема 4 (похідна котангенса). Для кожного х з області визначення функції котангенса

Доведення аналогічне доведенню теореми 3.

Приклад 7.

Приклад 8. Для функції f(х) = 3соs х - 5ctg x знайти

Розв’язання.

Відповідь. 2.

Приклад 9.

Розв’язати рівняння: f'(х) = 0, якщо f(х) = соs х + х.

Розв’язання. 1) f'(х) = (соs х + х)' = (соs х)' + х' = -sin х + 1.

2) Маємо рівняння:

Відповідь.

4. Таблиця похідних

Систематизуємо дані, отримані в цьому та попередніх параграфах про похідні функцій, у таблицю, яку прийнято називати таблицею похідних.

• Чому дорівнює похідна суми, різниці, добутку, частки двох функцій?

• Чому дорівнює похідна функції Сu, де С - деяка стала?

• Чому дорівнює похідна функції f(x) = хⁿ, де n - ціле число?

• Вивчіть таблицю похідних та правила диференціювання.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Знайдіть похідну функції (36.1—36.10):

36.1.

36.2.

36.3.

36.4.

36.5.

36.6.

2. 36.7.

36.8.

36.9.

36.10.

Знайдіть похідну функції g(x) у точці х₀ (36.11—36.12):

36.11.

36.12.

Знайдіть похідну функції (36.13—36.16):

36.13.

36.14.

36.15.

36.16.

36.17. Знайдіть значення похідної функції f(х) = x⁴ - у точках х₀ = 1; х₀ = 9; х₀ = 25.

36.18. Знайдіть значення похідної функції g(x) = 2х + у точках х₀ = 1; х₀ = 16; x₀ = 100.

36.19. Знайдіть значення похідної функції g(x) = sin x + cos x у точках х₀ = 0; х₀ = .

36.20. Знайдіть значення похідної функції f(х) = cos x - sin x у точках х₀ = ; х₀ = .

36.21. Знайдіть тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної до графіка функції f(х) = 3х² - 4х у точці з абсцисою х₀ = 2.

36.22. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(х) = 5х - 7х² у точці з абсцисою х₀ = 0.

36.23. Тіло рухається прямолінійно за законом x(t) = t³ - 10t (t вимірюється в секундах, х - у метрах). Знайдіть швидкість тіла в момент часу: 1) t = 2 с; 2) t = 6 с.

36.24. Тіло рухається прямолінійно за законом x(t) = 5t - t³ (t вимірюється в секундах, х - у метрах). Знайдіть швидкість тіла в момент часу: 1) t = 1 с; 2) t = 3 с.

Розв’яжіть рівняння f(x) = 0, якщо (36.25—36.26):

36.25.

1) f(х) = cos x;

2) f(х) = х² - 6х.

36.26.

1) f(х) = sin x;

2) f(х) = 8х + х².

36.27. Розв’яжіть нерівність g'(x) > 0, якщо g(x) = 4х + х².

36.28. Розв’яжіть нерівність f'(x) ≤ 0, якщо f(х) = х² - 10х.

3. Знайдіть похідну функції (36.29—36.30):

36.29.

36.30.

Обчисліть f'(х₀), якщо (36.31—36.32):

36.31.

36.32.

Знайдіть похідну функції (36.33—36.34):

36.33.

36.34.

Знайдіть g'(х₀), якщо (36.35—36.36):

36.35.

36.36.

Розв’яжіть рівняння f'(x) = 0 та нерівність f'(x) ≤ 0, якщо (36.37-36.38):

36.37.

36.38.

Розв’яжіть рівняння g'(x) = 0, якщо (36.39—36.40):

36.39.

36.40.

36.41. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом х(t) - 3t² - 12t + 7 (х вимірюється в метрах, t - у секундах).

1) У який момент часу швидкість точки дорівнюватиме 18 м/с?

2) У який момент часу точка зупиниться?

36.42. Тіло рухається прямолінійно за законом х(t) = 2t² - 16t + 3 (х вимірюється в метрах, t - у секундах).

1) У який момент часу швидкість тіла дорівнюватиме 12 м/с?

2) У який момент часу тіло зупиниться?

36.43. На графіку функції f(х) = х² - 3х + 7 знайдіть точку, у якій дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 45°.

36.44. На графіку функції g(x) = 5х + х² - 9 знайдіть точку, у якій дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 135°.

Розв’яжіть рівняння f'(x) = 0, якщо (36.45—36.46):

36.45.

36.46.

36.47. Дано:

Доведіть, що f'(x) > 0 для всіх допустимих значень х.

36.48. Для функції f(х) = х³ + 2х² - 7х + 5 знайдіть абсциси точок її графіка, у яких дотична паралельна осі абсцис.

36.49. Для функції

знайдіть абсциси точок її графіка, у яких дотична паралельна прямій у = 2х - 7.

36.50. Складіть рівняння дотичної до графіка функції g(x) = х² - 4х + 5 у точці з абсцисою х₀ = 1.

36.51. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) - х² + 2х - 3 у точці з абсцисою х₀ = 0.

36.52. Складіть і розв’яжіть рівняння f'(x) = f'(6), якщо

Дано функції f(х) і g(x). Розв’яжіть рівняння f'(x) = g'(x), якщо (36.53-36.54):

36.53.

36.54.

36.55. Знайдіть похідну функції

у точці

36.56. Знайдіть похідну функції

у точці

4. 36.57. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = х² - 3х + 7, яка паралельна прямій у = 5х - 17.

36.58. Складіть рівняння дотичної до графіка функції g(х) = х² + 4х - 6, яка паралельна прямій у = 6х - 7.

36.59. Складіть і розв’яжіть рівняння

якщо

36.60. Складіть і розв’яжіть рівняння

якщо

36.61. На синусоїді у = sin х узято точки з абсцисами х₁ = 0 і х₂ = . Через ці точки проведено січну. У якій точці з абсцисою х₀, де

слід провести дотичну, щоб вона була паралельна січній?

36.62. Розв’яжіть рівняння f'(х) = 0, якщо f(х) = tg x - 2х.

36.63. Розв’яжіть рівняння g'(х) = 0, якщо g(x) = 2х + сtg х.

36.64. Розв’яжіть нерівність g'(х) ≥ 0, якщо g(х) = соs х + 0,5х.

36.65. Розв’яжіть нерівність f'(х) < 0, якщо f(х) = sin х - 0,5х.

36.66. Складіть рівняння дотичної до графіка функції

яка утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 60°.

36.67. Знайдіть координати точки перетину двох дотичних до графіка функції g(x) = якщо одна з них проведена в точці з абсцисою х = -1, а друга - в точці з абсцисою х = 3.

36.68. Знайдіть координати точки перетину двох дотичних до графіка функції f(х) = , якщо одна з них проведена в точці з абсцисою х = -2, а друга - в точці з абсцисою х = 4.

36.69. Знайдіть координати точок перетину з осями координат тих дотичних до графіка функції у(х) =, кутовий коефіцієнт яких дорівнює 9.

36.70. Знайдіть координати точок перетину з осями координат тих дотичних до графіка функції у(х) = , кутовий коефіцієнт яких дорівнює 4.

36.71. Знайдіть рівняння прямої, що проходить через точку з координатами (1; 3), дотикається до графіка функції у = 8 - 7 і перетинає у двох різних точках графік функції у = х² + 4х - 1.

36.72. Знайдіть рівняння прямої, що проходить через точку з координатами

дотикається до графіка функції

і перетинає у двох різних точках графік функції у = х² + 6х.

36.73. Знайдіть площу трикутника, утвореного віссю ординат і двома дотичними, проведеними з точки А(2; 0) до графіка функції

36.74. Знайдіть площу трикутника, утвореного віссю абсцис і двома дотичними, проведеними з точки А(0; 3) до графіка функції

36.75. 1) Якщо протягом дня не вимкнути одну електричну лампочку потужністю 100 Вт, то втрати електроенергії за 10 год становитимуть 1 кВт.

2) Дізнайтеся тариф на електроенергію та обчисліть скільки грошей витратить ваша сім’я даремно, якщо лампочка потужністю 100 Вт, яку забули вимкнути, світитиме протягом 1 доби; 5 діб; місяця, у якому 30 днів.

36.76. Чи існує таке значення змінної х, при якому значення виразу х⁸ + х⁶ - 4х⁴ + х² + 1 є від’ємним числом?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

36.77. Знайдіть:

36.78. Знайдіть g'(х), якщо: