Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАНННЯ

§ 33 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ В ТОЧЦІ

1. Поняття границі функції в точці

Приклад 1. Розглянемо функцію а(х) = х - 1. Знайдемо значення цієї функції в точці х = 3, маємо: а(3) = 3 - 1 = 2.

Складемо таблицю значень функції а(х) = х - 1 у точках, які на числовій прямій лежать досить близько до числа 3.

З таблиці помічаємо, що чим ближче аргумент х до числа 3, тим ближче значення функції f(x) = х - 1 до числа 2.

Кажуть, що якщо аргумент прямує до числа 3 (позначають так: х → 3), то значення функції прямує до числа 2 (позначають так: f(х) → 2). Для запису цього факту використовують позначення lim, а саме:

(читають: У загальному випадку запис «ліміт (границя) х - 1 при х, що прямує до 3, дорівнює 2»). Число 2 при цьому називають границею функції f(х) = х - 1 у точці 3.

означає, що границею функції у = f(х) у точці х₀ є число А.

Зауважимо, що у прикладі 1 границя функції f(х) = х - 1 у точці 3 дорівнює значенню функції в цій точці 3. У такому випадку кажуть, що функція f(х) = х - 1 неперервна в точці 3.

Функцію у = f(х) називають неперервною в точці х₀, якщо функція має значення в цій точці і справджується рівність

Зауважимо, що всі відомі нам раніше функції є неперервними в кожній точці своєї області визначення.

Наприклад, функція f(х) = 3х⁷ - 5х² + 4х - 11 неперервна для всіх значень х (кажуть, що така функція неперервна на R), а функція

неперервна для всіх значень х, за винятком значення х = 2. У такому випадку кажуть, що функція g(х) неперервна на кожному з проміжків (-∞; 2) і (2; +∞), а в точці х = 2 має розрив. Точка х = 2 є точкою розриви функції

Функцію у = f(х) називають неперервною на деякому проміжку, якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Незважаючи на те, що функція

у точці х = 2 має розрив, границю функції в цій точці знайти можна.

Приклад 2. Розглянемо функцію

Значення цієї функції в точці х = 2 не існує. Складемо таблицю значень функції

у точках, які на числовій прямій розташовані досить близько до числа 2.

Отже, що ближче аргумент х до числа 2, то ближче значення функції g(x) до числа 4, тому

Цього висновку можна дійти, розглянувши графік функції

Областю визначення функції є всі значення х, за винятком числа 2. На області визначення

Тому графіком функції

є пряма у = х + 2 з «порожньою» точкою (2; 4) (мал. 33.1). З графіка видно, що при наближенні аргументу до числа 2 значення функції наближається до числа 4.

Мал. 33.1

2. Означення границі функції в точці

Повернемося до прикладу 1. Запис х → 3 означає, що точка х знаходиться від точки 3 на незначній відстані, наприклад на відстані, меншій за якесь додатне число 5. Це можна записати так: |х - 3| < , враховуючи, що відстань між точками х і 3 на координатній прямій записують як |х - 3|. Зауважимо, що запис х → 3 означає, що х прямує до числа 3, але не обов’язково досягає цього значення, тому в означенні границі функції в точці не розглядають значення функції у цій точці.

Запис f(х) → 2 означає, що значення функції у = f(х) за умови, що х → 3, знаходиться на незначній відстані від числа 2, наприклад на відстані, меншій за деяке додатне число є, тобто |f(х) - 2| < ε.

Для будь-якого ε > 0 можна знайти таке значення > 0, що для всіх х таких, що х ≠ 3 і |х - 3| < , справджуватиметься нерівність: |f(х) - 2| < ε.

Справді, нехай, наприклад, ε = 0,02, тоді |f(х) - 2| < 0,02. Оскільки f(х) = х - 1, маємо: |х - 1 - 2| < 0,02, тобто |х - 3| < 0,02. Отже, = 0,02.

Маємо означення границі функції в точці: число А називають границею функції у - f(х) при х → х₀, якщо для будь-якого ε > 0 знайдеться таке число > 0, що при всіх х ≠ х₀таких, що |х - х₀| < 5, справджується нерівність: |f(х) - А| < ε.

Довести за означенням, що

Розв’язання. Розглянемо ε > 0 таке, що |(5х - 1) - 4| < ε. Маємо: |5х - 5| < ε, тобто 5|х - 1| < ε, отже, | х -1|< . Нехай

= , тоді |х - 1| < . Отже, для будь-якого ε > 0 знайшлося таке = , що для всіх значень х таких, що х ≠ 1 і які задовольняють умову |x - 1| < , справджується нерівність: |(5x - 1) - 4| < ε. Отже, за означенням,

Зауважимо, що оскільки функція f(х) = 5х - 1 є неперервною на R, і зокрема в точці 1, то значення границі можна буде знайти без використання означення, так:

3. Правила обчислення границі функції в точці

Розглянемо основні правила обчислення границі функції у точці, які приймемо без доведення.

Теорема 1.

Теорема 2. Якщо функції f(x) і g(x) мають границі в точці x₀, то існують границі їх суми, різниці і добутку в цій точці, причому

Теорема 3.

де С — довільне число.

Теорема 4. Якщо існує границя функції f(x) у точці x₀, то в цій точці існує границя функції kf(х), де k — деяке число, k ≠ 0, причому

Теорема 5. Якщо функції f(x) і g(x) мають границі в точці х₀, причому границя функції g(x) відмінна від нуля, то існує границя частки функцій

причому

Ці теореми використовують для обчислення границь. Обчислити границю:

Розв’язання.

2-й спосіб. Оскільки функція f(x) - х² - 2х + 7 неперервна для х ∈ R, і зокрема в точці 5, то

2) Значення функції

в точці —2 існує,

тому функція в цій точці неперервна. Отже,

Відповідь. 1)22; 2)4.

Зі згаданих вище теорем та прикладів можна дійти висновку: якщо існує значення функції у = f(x) у точці х₀ і функція в цій точці неперервна, то

Приклад 5. Обчислити

Розв’язання. Значення виразу

при х = 1 не існує.

Розкладемо на множники чисельник і знаменник дробу:

Оскільки х → 1, але х ≠ 1, то отриманий дріб можна скоротити на х - 1, після чого отримаємо дріб , для якого значення в точці х = 1 існує. Отже, маємо:

Відповідь. 2.

З теорем і прикладів, які ми розглянули, можна дійти висновку, що а якщо функції f(x) і g(x) неперервні в точці х₀, то сума, добуток і частка функцій також неперервні в точці х₀(для частки лише за умови g(x₀) ≠ 0).

4. Нескінченна границя функції

Ми вже розглянули скінченні границі функції а(х) при х → ∞ або х → а, де а - число. Проте в математиці розглядають також і поняття нескінченної границі.

Наприклад, функція а(х) = , графік якої зображено на малюнку 33.2, визначена для всіх х ≠ 0. Але якщо х → 0, то функція набуває яких завгодно великих значень. Кажуть, що функція f(x) = в точці х = 0 має нескінченну границю, і записують це так:

Мал. 33.2

Сформулюємо означення нескінченної границі функції.

Вважатимемо, що

якщо для довільного числа М > 0 існує таке число δ > 0, що для всіх х таких, що |х - а| < , х ≠ а, справджується нерівність: |f(x)| > М.

Приклад 6. Довести, що

де а > 0 — раціональне число.

Доведення. Доведемо, що для довільного числа М > 0 існує таке число > 0, що для всіх х таких, що |x| < , справджується нерівність:

Отже, для довільного числа М > 0 існує таке

що для всіх х таких, що |х| < , справджується нерівність:

Так само можна довести, що

де с і а - будь-які числа, с ≠ 0, а > 0 - раціональне число.

У математиці також розглядають поняття нескінченної границі на нескінченності, тобто границі вигляду

Будемо вважати, що

якщо для довільного числа М > 0 існує таке число N > 0, що для всіх х, таких, що |х| > N, справджується нерівність: |f(х)| > М.

Наприклад,

Приклад 7. Знайти границю

Розв’язання. Оскільки

то кажуть, що маємо невизначеність типу

Для обчислення цієї границі поділимо чисельник і знаменник на х у найвищому степені - на х²:

Але

тому

Відповідь. ∞.

А ще раніше…

Поява поняття границі, що сягає корінням у сиву давнину, пов'язане зі знаходженням площ криволінійних фігур і об'ємів тіл, обмежених кривими поверхнями.

Перше теоретичне узагальнення і обґрунтування методів обчислення площ і об'ємів, у яких неявно використовувалися граничні переходи, дав найвидатніший грецький математик IV ст. до н. е. Евдокс Кнідський. Метод Евдокса в XVII ст. було названо методом вичерпання.

Так, наприклад, за допомогою свого методу Евдокс довів, що об'єм піраміди дорівнює третині об'єму призми з тією ж основою і тією ж висотою, а об'єм конуса дорівнює третини об'єму відповідного циліндра.

Дінострат, сучасник й учень Евдокса, застосовуючи методи свого вчителя, знайшов, що

названий в сучасній термінології «першою чудовою границею».

Наступними цеглинами фундаменту теорії границь слід вважати праці «Геометрія неподільних безперервних» (1635 р.) Кавальєрі і «Геометрична праця» Грегуара де Сен-Венсана.

Величезний внесок до теорії границь зробила полеміка і конкуренція між двома найбільшими математичними школами XVII ст. Одну з них очолював Лейбніц, а її учнями й представниками були Лопіталь, брати Бернуллі, Ейлер, а іншу школу очолював Ньютон, а одним з її представників був Маклорен. Обидві школи створили потужні алгоритми, які призвели, по суті, до одних і тих самих результатів - створення диференціального й інтегрального числення. Одним із цих алгоритмів і був метод границь.

• Коли функцію у = f(х) називають неперервною в точці x₀?

• Сформулюйте означення границі функції в точці.

• Сформулюйте основні теореми про границі функції в точці.

• Сформулюйте властивість неперервних функцій.

• У якому випадку вважають, що

• У якому випадку вважають, що

Розв'яжіть задачі та виконайте видави

1. Знайдіть границю функції (33.1—33.2):

33.1.

33.2.

33.3. Чи буде функція f(х) неперервною в точці 3, якщо:

33.4. Чи буде функція g(x) неперервною в точці 2, якщо:

2. Обчисліть границю (33.5—33.8):

33.5.

33.6.

33.7.

33.8.

33.9. Відомо, що

Знайдіть границю в точці 1 для функції:

33.10. Відомо, що

Знайдіть границю в точці 2 для функції:

33.11. Обчисліть:

33.12. Обчисліть:

Знайдіть проміжки неперервності функції (33.13—33.14):

33.13.

33.14.

Знайдіть точки розриву функції (33.15—33.16):

33.15.

33.16.

3. Користуючись означенням границі, доведіть, що (33.17— ЗЗ.):

33.17.

33.18.

33.19. Знайдіть:

33.20. Знайдіть:

33.21. Відомо, що

Знайдіть границю в точці 3 для функції:

33.22. Відомо, що

Знайдіть границю в точці 1 для функції:

Обчисліть границю (33.23—33.24):

33.23.

33.24.

4. Користуючись означенням границі, доведіть, що (33.25— 33.26):

33.25.

33.26.

Обчисліть границю (33.27—33.32):

33.27.

33.28.

33.29.

33.30.

33.31.

33.32.

33.33. У вересні 1 кг винограду коштував 20 грн, у жовтні виноград подорожчав на 25 %, а в листопаді ще на 20 % (по відношенню до ціни жовтня). Скільки коштував 1 кг винограду після подорожчання в листопаді?

33.34. Розв’яжіть рівняння

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

33.35. Спростіть вираз у(а + b) - у(а), якщо: