Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАНННЯ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ МИ…

• ознайомимося з поняттями границі послідовності та границі функції в точці, похідної функції; правилами диференціювання;

• дізнаємося про геометричний і фізичний зміст похідної, таблицю похідних;

• навчимося застосовувати похідну для дослідження функцій і побудови їх графіків; розв’язувати прикладні задачі.

§ 32 ГРАНИЦЯ ПОСЛІДОВНОСТІ. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ПРО ГРАНИЦІПОСЛІДОВНОСТІ. ПОНЯТТЯ ГРАНИЦІ ФУНКЦІЇ НА НЕСКІНЧЕННОСТІ

1. Поняття границі послідовності

У 9 класі ви вже ознайомилися із числовими послідовностями. Числову послідовність можна записувати у вигляді ряду чисел:

а₁, а₂, а₃, …, а_n, …

або за допомогою загальної формули а_n = f(n), де а_n - n-й член послідовності, n ∈ Z.

Прикладами числових послідовностей є арифметична прогресія, n-й член якої задають формулою а_n = а₁ + d(n - 1), де а₁ - перший член послідовності, d - її різниця, та геометрична прогресія, n-й член якої задають формулою

перший член послідовності, q - її знаменник.

Приклад 1. Розглянемо послідовність, яку задано формулою

Тоді:

Очевидно, що для будь-якого т справджується нерівність а_n+1 < а_n і зі збільшенням числа n значення а_n прямують до нуля.

У такому разі кажуть, що границею числової послідовності а_n = є число 0. Для запису цього факту використовують поняття границі та позначення lim, а саме:

(читають: «ліміт (границя) при n, що прямує до нескінченності, дорівнює нулю»). Позначення lim прийшло в математику від латинського слова limes, що означає границя.

У загальному випадку запис

означає, що границею числової послідовності а_n є число А.

2. Означення границі послідовності

Спочатку розглянемо функцію цілої частини числа.

Ціла частина дійсного числа х - це найбільше ціле число, яке не перевищує х. Цілу частину числа х позначають символом [x].

Наприклад, [2,5] = 2; [] = 3; [0,17] = 0; [-2,17] = -3.

Повернемося до прикладу 1. Розглянемо деяке довільне число ε > 0 і покажемо, що знайдеться таке значення N = N(ε), що для всіх n > N модуль різниці між значенням а_n і границею числової послідовності буде меншим за ε.

Маємо:

Враховуючи,що n > 0, отримаємо n > .

Позначимо

Тоді для всіх n > N справджуватиметься нерівність |а_n - 0| < ε.

Так, наприклад, якщо ε = 0,001, то

Тому для всіх значень n > 1000 матимемо: |а_n - 0| < 0,001, тобто всі члени послідовності а₁₀₀₁, а₁₀₀₂, а₁₀₀₃, … лежатимуть на відстані, меншій за 0,001 від границі числової послідовності - числа 0.

Приходимо до означення границі числової послідовності.

Число А називають границею числової послідовності аn, якщо для будь-якого ε > 0 знайдеться таке натуральне число N = N(ε), що для всіх n > N справджується нерівність |а_n - А|< ε.

Це записують так:

Приклад 2. Довести, що

де а ∈ N, а > 1.

Доведення. Доведемо, що для будь-якого ε > 0 знайдеться таке натуральне число N = N(ε), що для всіх n > N справджується нерівність:

Маємо:

тобто

Отже, існує число

що для всіх n >N справджується нерівність:

Зауважимо, що в той самий спосіб можна довести, що

де К і І - деякі числа.

Приклад 3. Довести, що

Доведення. Доведемо, що для будь-якого ε > 0 знайдеться таке число N = N(ε), що для всіх n > N справджується нерівність

Маємо:

тобто n > ()^β. Отже, існує число

що для всіх n > N справджується нерівність:

Зауважимо, що в той самий спосіб можна довести, що

де К і І - деякі числа.

3. Основні теореми про границі послідовностей

Розглянемо правила обчислення границь послідовностей.

Теорема 1. Якщо послідовності а_n і b_n мають границі, то існують границі їх суми, різниці та добутку, причому

Теорема 2. Якщо послідовності а_n і b_n мають границі, причому

то існує границя їх частки, причому

Теорема 3.

де С — будь-яке число.

Теорема 4. Якщо послідовність а_n має границю, то має границю і послідовність kа_n, де k — число, k ≠ 0, причому

Приймемо ці теореми без доведення.

Приклад 4. Обчислити

Розв’язання. Поділимо чисельник і знаменник дробу на n у найвищому для цього дробу степені, тобто на n². Матимемо:

За теоремами про границі та з прикладів 1 і 2 отримаємо:

Відповідь. 2.

Приклад 5. Обчислити

Розв’язання. У чисельнику дробу маємо суму n перших членів арифметичної прогресії. Тому

Отже, маємо:

Поділимо чисельник і знаменник дробу на n³ та використаємо теореми про границі:

Відповідь. 0.

Приклад 6. Обчислити

Розв’язання. Перетворимо вираз у дужках, домноживши і поділивши його на спряжений йому вираз:

Тоді:

Відповідь. 0.

4. Поняття границі функції на нескінченності

Крім границі послідовності на нескінченності в математиці також розглядають границю функції f(x)на нескінченності, тобто

Число В називають границею функції f(x) на нескінченності, якщо функція f(x) визначена для всіх досить великих за модулем значень х і для будь-якого ε > 0 знайдеться таке число М > 0, що для всіх х, що задовольняють умову |x| > М, справджується нерівність: |f(x) - В|< ε.

Це записують так:

Правила обчислення границь функцій на нескінченності такі самі, як і для границь послідовностей.

• Наведіть приклади числових послідовностей.

• Що називають цілою частиною числа?

• Сформулюйте означення границі числової послідовності.

• Сформулюйте основні теореми про границі послідовностей.

• Сформулюйте означення границі функції на нескінченності.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Обчисліть границю (32.1—32.2):

32.1.

32.2.

32.3. Відомо, що

Знайдіть:

32.4. Відомо, що

Знайдіть:

2. Обчисліть границю (32.5—32.8):

32.5.

32.6.

32.7.

32.8.

3. Користуючись означенням границі послідовності, доведіть, що (32.9-32.10):

32.9.

32.10.

Обчисліть границю (32.11—32.22):

32.11.

32.12.

32.13.

32.14.

4. 32.15.

32.16.

32.17.

32.18.

32.19.

32.20.

32.21.

32.22.

32.23. Заробітна плата менеджера супермаркету електроніки у 2017 році становила 8000 грн. Щомісяця із зарплати утримувалося 18 % податку на доходи фізичних осіб і 1,5 % військового збору. На початку року менеджер вирішив на придбання нового смартфона щомісяця відкладати 10 % від отриманої «на руки» зарплати. Роздрібна ціна цього смартфона в супермаркеті, де працює менеджер, складає 4000 грн. Через скільки місяців менеджер придбав смартфон, якщо супермаркет надав йому знижку у 15 % від роздрібної ціни?

32.24. (Національна олімпіада США). Нехай а, b і с - три різних цілих числа, Р(х) — многочлен із цілими коефіцієнтами. Доведіть, що рівності Р(а) = b, Р(b) = с, Р(с) = а не можуть справджуватися одночасно.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

32.25. 1) Знайдіть область визначення функції

та побудуйте її графік.

2) Чи можна знайти f(2)?

3) Знайдіть за допомогою калькулятора f(1,9), f(1,99), f(1,999) та f(2,001), f(2,01), f(2,1). До якого значення наближаються значення функції у вказаних точках?

32.26. Для яких з функцій можна знайти f(1), а для яких - ні: