Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 25 ФОРМУЛИ СУМИ І РІЗНИЦІ ОДНОЙМЕННИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ. ФОРМУЛИ ПЕРЕТВОРЕННЯ ДОБУТКУ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ У СУМУ

Розглянемо ще кілька формул, що є наслідками з формул додавання.

1. Формули перетворення суми і різниці тригонометричних функцій на добуток

Додамо почленно формули додавання:

Нехай х + y = а і х - y = β. Тоді 2х = а + β, 2y = а - β, звідки

Підставимо отримані для х і у вирази в отриману вище суму. Матимемо формулу суми синусів:

Замінимо у цій формулі β на -β, отримаємо:

Отже, маємо формулу різниці синусів:

Аналогічно можна отримати формули суми та різниці косинусів:

Оскільки

то останню формулу можна записати ще й так:

Для суми тангенсів маємо:

Отримали формулу суми тангенсів:

Замінивши в цій формулі (β на -β і врахувавши, що tg(-β) = -tg β, матимемо формулу різниці тангенсів:

Приклад 1. Подати у вигляді добутку вираз:

Розв’язання. 1) 3а формулою суми синусів:

2) Використаємо формулу різниці косинусів, ураховуючи, що за формулою зведення

Маємо:

Відповідь.

Приклад 2. Обчислити sin 75° - sin 15°.

Розв’язання. За формулою різниці синусів:

Відповідь. .

Приклад 3. Подати вираз - tg a у вигляді частки.

Розв’язання. Оскільки = tg , то вираз можна записати у вигляді різниці тангенсів:

Відповідь.

Приклад 4. Подати вираз + 2 соs а у вигляді добутку.

Розв’язання. Винесемо число 2 за дужки та врахуємо, що = cos . Матимемо:

Відповідь.

Приклад 5. Нехай А, В, С - внутрішні кути трикутника.

Довести, що

Доведення. Оскільки

і С = - (А + В), матимемо:

Звідси

2. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму

Додамо почленно формули додавання:

Звідси маємо:

Віднімемо почленно від першої формули додавання другу:

звідси

Додамо почленно формули додавання:

звідси:

Отримали три формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

Приклад 6. Обчислити: sin 75° sin 105°.

Розв’язання. За формулою добутку синусів маємо:

Відповідь.

Приклад 7. Спростити вираз: 2 cos 7x; cos 5х - cos 2x.

Розв’язання. Застосуємо формулу добутку косинусів:

Відповідь. cos 12x.

Приклад 7. Довести, що

Доведення. Якщо в умові дано суму синусів або косинусів, кути яких утворюють арифметичну прогресію, для спрощення такого виразу його доцільно помножити і поділити на 2sin , де а - різниця прогресії, а потім застосувати формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму. Ураховуючи це, спростимо ліву частину рівності:

А ще раніше…

Протягом століть практикували як перетворення добутку тригонометричних функцій у суму, так і перетворення суми в добуток. Необхідність таких перетворень залежала не лише від мети перетворень, а й від обчислювальних засобів, що використовувалися на той час. Дія множення, особливо якщо мова йшла про багатоцифрові числа, завжди вважалася складнішою, ніж дія додавання.

Тому в давні часи, щоб замінити множення додаванням, намагалися знайти формули для перетворення добутку тригонометричних величин у суму.

У XVI ст. астрономи, у тому числі й один з попередників Кеплера, датський учений Тихо Браге, застосовували формулу для заміни добутки сумою.

Для доведення тотожностей або обчислень формули перетворення добутку в суму застосовують і донині.

• Запам’ятайте формули суми і різниці синусів; суми і різниці косинусів; суми і різниці тангенсів.

• Запишіть формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Чи правильно використано формули суми і різниці тригонометричних функцій (25.1—25.2):

25.1.

25.2.

Перетворіть вираз на добуток (25.3—25.4):

25.3.

25.4.

2. Подайте вираз у вигляді добутку (25.5—25.6):

25.5.

25.6.

Доведіть, що (25.7—25.8):

25.7.

25.8.

Запишіть вираз у вигляді частки (25.9—25.10):

25.9.

25.10.

Перетворіть добуток на суму (25.11—25.12):

25.11.

25.12.

Обчисліть (25.13—25.14):

25.13.

25.14.

Спростіть вираз (25.15-25.16):

25.15.

25.16.

3. Запишіть вираз у вигляді добутку (25.17—25.18):

25.17.

25.18.

Перетворіть вираз на добуток (25.19—25.20):

25.19.

25.20.

25.21. Доведіть формули суми та різниці котангенсів:

Запишіть вираз у вигляді частки (25.22—25.23):

25.22.

25.23.

Подайте вираз у вигляді добутку (25.24—25.25):

25.24.

25.25.

Доведіть тотожність (25.26—25.27):

25.26.

25.27.

Подайте вираз у вигляді добутку (25.28—25.29):

25.28.

25.29.

Подайте вираз у вигляді частки (25.30—25.31):

25.30.

25.31.

Доведіть тотожність (25.32—25.33):

25.32.

25.33.

25.34. Перетворіть на добуток вираз:

Спростіть вираз (25.35—25.36):

25.35.

25.36.

Обчисліть (25.37—25.38):

25.37.

25.38.

4. Спростіть вираз (25.39—25.40):

25.39.

25.40.

Знайдіть значення виразу (25.41-25.42):

25.41.

25.42.

Доведіть тотожність (25.43—25.46):

25.43.

25.44.

25.45.

25.46.

25.47. Обчисліть

25.48. Обчисліть

25.49. Відомо, що sin а + sin β = 2sin(a + β), а + β ≠ 2n, n ∈ Z.

Знайдіть

А, В, С - кути трикутника. Доведіть тотожність (25.50—25.51):

25.50.

25.51.

25.52. Доведіть тотожність:

де n — кількість доданків.

25.53. А, В, С - кути трикутника, n ∈ Z. Доведіть, що:

25.54. Військовий збір у 2016 році складав 1,5 % від заробітної плати. Заробітна плата директора приватного підприємства «Патріот» протягом року становила 8000 грн на місяць, а кожного з трьох його робітників - по 6000 грн на місяць. Окрім військового збору, щомісяця директор перераховував 500 грн, а кожний з його робітників - по 300 грн у фонд на підтримку української армії. Яку загальну суму коштів сплатили робітники цього приватного підприємства у 2016 році на потреби української армії?

25.55. Розв’яжіть рівняння: