Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 24 ФОРМУЛИ ПОДВІЙНОГО, ПОТРІЙНОГО І ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТІВ. ФОРМУЛИ ПОНИЖЕННЯ СТЕПЕНЯ

1. Формули подвійного кута

Розглянемо формули, що є наслідками формул додавання.

Формула sin (а + β) = sin а cos β + cos а sin β є істинною для будь-яких значень а і β. Якщо припустити, що β= а, матимемо:

тобто

Отримали формулу синуса подвійного кута.

Аналогічно для формули cos(a + β) = cos a cos β - sin a sin β, коли β = a, матимемо:

тобто

Отримали формулу косинуса подвійного кута.

Якщо в отриману формулу спочатку замість cos² а підставити 1 - sin² а, а потім замість sin² а підставити 1 - cos² а, отримаємо ще дві формули косинуса подвійного кута:

Так само з формули

матимемо, що

тобто

Отримали формулу тангенса подвійного кута, яка є істинною, коли tg a і tg 2a існують.

Приклад 1. Спростити вираз:

Розв’язання. 1)

Відповідь.

1) ctg a;

2) cos a + sin a.

Приклад 2. Обчислити sin 15° cos 15°.

Розв’язання.

Відповідь. 0,25.

Зауважимо, що отримані формули можна застосовувати для будь-якого кута 2а, адже будь-який кут можна записати як подвійний. Наприклад, sin 6х = sin(2 · 3х) = 2sin 3х соз3х;

2. Формули пониження степеня

Якщо з формул cos 2а = 1 - 2 sin² а і cos 2а = 2 cos² а - 1 виразити відповідно sin² а і cos² а, отримаємо:

Ці формули називають формулами пониження степеня. Вони дають можливість записати квадрати синуса і косинуса кута а через косинус кута 2а.

Оскільки

маємо ще одну формулу пониження степеня:

Ця формула істинна, якщо tg a існує.

Приклад 3. Понизити степінь у виразі:

Розв’язання.

Відповідь.

3. Формули половинного кута

Якщо у формули

замість кута а підставити кут отримаємо формули половинного кута:

Приклад 4. Знайти sin , якщо cos а = і 2 < а < .

Розв’язання. За формулою половинного кута маємо

Оскільки

тобто

отже,

і тому

Відповідь. - .

Для tg можна отримати ще дві формули, адже

Отже, маємо:

Приклад 5. Обчислити ctg 15°.

Розв’язання.

Відповідь. 2 + .

4. Формули потрійного кута

З’ясуємо, як записати sin 3а через від а. Маємо:

Отже, маємо формулу синуса потрійного кута:

У той самий спосіб можна отримати формулу косинуса по трійного кута:

Також маємо:

Отримали формулу тангенса потрійного кута:

Приклад 6. Довести тотожність:

Доведення. Перетворимо ліву частину тотожності:

5. Запис тригонометричних функцій через тангенс половинного кута

Для обчислення і спрощення виразів та в подальшому для розв’язування тригонометричних рівнянь можуть бути корисними формули,

за допомогою яких можна перейти від тригонометричних функцій кута до тангенса вдвічі меншого кута. Маємо:

Отже, отримали формули:

Застосовувати ці формули треба дуже обережно, оскільки у їх лівої і правої частин різні області допустимих значень змінної, що, наприклад під час розв’язування рівнянь може призвести до втрати коренів або появи сторонніх коренів.

Приклад 6. Знайти sin 2а і соs 2а, якщо tg = 2. Розв’язання. Маємо:

Тоді

Відповідь.

А ще раніше…

Складаючи таблиці хорд, Птолемей уже використовував співвідношення, яке у сучасних позначеннях має вигляд:

Деякі формули, що після спрощень зводилися бо цієї формули, знайшли і давньоіндійські математики. Індуси знали також і деякі інші тригонометричні формули. Так, наприклад, Абу-л-Вафа (940-998) винайшов формулу

Ця, а також формули подвійного та половинного кутів для синуса і косинуса, є у працях багатьох середньовічних вчених.

Англієць Джон Пелль, француз Г. Роберваль та інші математики XVIII ст. різними шляхами прийшли до формули

Видатний математик Л. Ейлер у праці «Введення в аналіз» запропонував формулу:

Яка, проте, зараз не має широкого вжитку.

• Запам’ятайте формули синуса, косинуса і тангенса подвійного кута. Запам’ятайте формули пониження степеня.

• Запам’ятайте формули половинного кута.

• Запишіть формули потрійного кута.

• Запишіть формули, що виражають тригонометричні функції через тангенс половинного аргументу.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Чи правильно використано формули подвійного кута (24.1-24.2):

24.1.

24.2.

2. Спростіть вираз (24.3—24.4):

24.3.

24.4.

Скоротіть дріб (24.5-24.6):

24.5.

24.6.

Обчисліть (24.7—24.8):

24.7.

24.8.

Спростіть вираз (24.9—24.10):

24.9.

24.10.

Спростіть (24.11—24.12):

24.11.

24.12.

24.13. Знайдіть tg 2β, якщо:

24.14. Знайдіть tg 2a, якщо:

24.15. Знайдіть cos 2а, якщо:

24.16. Знайдіть cos2x, якщо:

Запишіть тригонометричну функцію кута через тригонометричну функцію вдвічі меншого кута (24.17—24.18):

24.17.

24.18.

Виконайте пониження степеня у виразі (24.19—24.20):

24.19.

1) cos²За;

2) sin²8х.

24.20.

1) sin²4а;

2) cos²5х.

24.21. Знайдіть sin 2a, cos 2a, tg 2a, якщо:

1) tg а = ;

2) ctg а = -0,5.

24.22. Знайдіть sin 2β, cos 2β, tg 2β, якщо:

1) tg β = -3;

2) ctg β = 2.

Знайдіть sin 3a і cos 3a, якщо (24.23—24.24):

24.23.

24.24.

Понизьте степінь у виразі (24.25—24.26):

24.25.

24.26.

24.27. Знайдіть sin 2а, якщо sin а = і < а < .

24.28. Знайдіть sin 2а, якщо cos а = -0,8 і З < а < .

3. Подайте у вигляді добутку вираз (24.29—24.30):

24.29.

24.30.

24.31. Спростіть вираз:

24.32. Спростіть вираз:

24.33. Відомо, що cos а = , < а < 2. Знайдіть:

24.34. Відомо, що cos а = -, < а < . Знайдіть:

24.35. Чи існує таке значення а, при якому справджується рівність:

24.36. Чи існує таке значення β, при якому справджується рівність:

24.37. Знайдіть

24.38. Знайдіть

Спростіть вираз (24.39—24.40):

24.39.

24.40.

Доведіть тотожність (24.41—24.42):

24.41.

24.42.

24.43. Спростіть вираз sin³ a cos 3а + cos³ а sin 3а і знайдіть його значення для а = 7°30'

24.44. Спростіть вираз:

4. 24.45. Знайдіть sin а, якщо sin — cos = 0,4.

24.46. Знайдіть sin 2а, якщо cos а + sin а = -0,2.

Спростіть вираз (24.47-24.48):

24.47.

24.48.

24.49. Косинус кута при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 0,8. Знайдіть косинус і синус кута при вершині цього трикутника.

Знайдіть (24.50-24.51):

24.50.

1) sin 4a, якщо ctg а = -3;

2) cos 3a, якщо tg = 2.

24.51.

1) cos 4a, якщо tg a = -2;

2) sin 3a, якщо ctg = .

24.52. Доведіть формули потрійного аргументу:

Обчисліть (24.53—24.54):

24.53.

24.54.

24.55. Доведіть, що

24.56. Відомо, що sin 2а = . Знайдіть: sin 4а + соs 4а.

24.57. Знайдіть найбільше значення виразу

якщо 0 < а < .

24.58. Знайдіть найменше значення виразу sin 6а + соs 6а, якщо 0 < а < .

Знайдіть (24.59-24.60):

24.59.

24.60.

24.61. Обчисліть:

24.62. Відомо, що соs 2а = 0,2. Знайдіть: соs 8а - sin 8а.

24.63. Відомо, що соs 2а = 0,4. Знайдіть: соs 8а + sin 6а.

24.64. Знайдіть а і β - міри кутів рівнобічної трапеції, якщо

24.65. Знайдіть величини гострих кутів а і β прямокутного трикутника, якщо sin 2а = 1 + sin(3а - β) і а > β.

24.66. Спростіть вираз:

24.67. На бензозаправці 1 літр бензину коштує 22 грн. Марина залила у бак 30 літрів бензину та придбала пакет соку вартістю 12 грн. Скільки решти вона отримала із 700 грн?

24.68. У кожній клітинці дошки 5x5 сидить жук. У деякий момент часу всі жуки переповзають у сусідні по горизонталі чи по вертикалі клітинки. Доведіть, що при цьому принаймні одна клітинка залишиться порожньою.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

24.69. Розв’яжіть систему рівнянь (х і у — змінні):

24.70. Порівняйте значення виразів sin а + sin β і

якщо: