Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§ 15 СТЕПІНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ. ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ, ЩО МІСТЯТЬ СТЕПІНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ

У попередніх класах ми розглядали степені з натуральними та із цілими показниками.

1. Означення степеня з раціональним показником

Пригадаємо основні поняття, пов’язані зі степенем:

n - показник, а ∈ R, n ∈ N, n > 1;

Тепер розглянемо поняття степеня для виразів типу ; 2^0,3; тощо, тобто для степеня з раціональним показником.

Означення степеня з раціональним показником природно сформулювати так, щоб він мав ті самі властивості, що й раніше вивчені нами степені із цілими показниками. Так, наприклад, має справджуватися властивість піднесення степеня до степеня (а^р)^q = а^рq. Тоді ()ⁿ = а^m, а тому, за означенням кореня n-го степеня, можна дійти висновку, що має бути коренем n-го степеня із числа а^m. Отже, сформулюємо означення степеня з раціональним показником: якщо а > 0, m — ціле число, n — натуральне число (n > 1),

то степенем числа а з показником є вираз , тобто

Наприклад,

І, навпаки,

Якщо а = 0, то 0^r = 0 для r > 0, тому має зміст, якщо m і n — натуральні числа. Вирази , 0^-0,3 тощо - не мають змісту. Зауваження. 1) Оскільки а > 0, то очевидно, > 0 для будь-якого натурального n і цілого m. 2) Для а < 0 степінь із дробовим показником не визначений. Це не випадково. Оскільки = , то має справджуватися рівність = . Розглянемо, наприклад, випадок, коли а = -1. Тоді, за формулою

маємо:

Отже, якщо а < 0, то ≠ . Тому вищенаведене означення степеня з дробовим показником для від’ємних значень а не розглядають. Вирази

тощо - не мають змісту.

Приклад 1. Обчислити:

Розв’язання.

Відповідь. 1) 5; 2) ; 3) 216; 4) .

2. Властивості степеня з раціональним показником

Степінь із раціональним показником має усі ті самі властивості, що й степінь із цілим показником, а саме: якщо а > 0, b > 0. р і q — раціональні числа, то:

Усі зазначені властивості легко довести, використовуючи означення степеня з раціональним показником і властивості кореня n-го степеня, які ми довели в § 10.

Доведемо, наприклад, властивість про добуток степенів. Запишемо раціональні числа р і q у вигляді дробів з однаковими знаменниками (як відомо, будь-які два дроби можна завжди звести до спільного знаменника).

Нехай

Отже, а^р· а^q = а^р+q.

Для степеня з раціональним показником справджуються і такі властивості: якщо а > 0, b > 0, р — раціональне число, то

Приклад 2. Спростити вираз:

Розв’язання.

Приклад 3.

Знайти значення виразу:

Розв’язання.

Відповідь. 1) ; 2) 8; 3) 16.

Зауважимо, що в останньому прикладі обчислення можна було виконати за означенням степеня з дробовим показником, тобто, як у Прикладі 1 цього параграфа.

Приклад 4. Обчислити:

Розв’язання.

Відповідь. 1) 6; 2) 49.

Приклад 5. Побудувати графік функції у = ((х - 2)^-0,25)^-4.

Розв’язання. D(у) = (2; +∞). Спростимо формулу функції на D(y), матимемо: у = х - 2. Графік функції у = ((х - 2)^-0,25)^-4 зображено на малюнку 15.1.

Мал. 15.1.

3. Перетворення виразів, які містять степінь з раціональним показником

Розглянемо на прикладах тотожні перетворення виразів, що містять степені з дробовим показником.

Приклад 6. Спростити вираз:

Розв’язання.

Відповідь.

Приклад 7. Спростити вираз

і знайти його значення, якщо х = 25, у = 36.

Розв’язання. Введемо позначення: х^0,5 = а; у^0,5 = b.

Тоді х = (х^0,5)² = а²; у = (у^0,5)² = b². Перепишемо вираз і спростимо його:

Знайдемо значення отриманого виразу для заданих значень змінних х і у.

Якщо х = 25, у = 36, то

Відповідь.

Приклад 8.

Довести, що значення виразу

не залежить від значення змінних.

Розв’язання. Позначимо

Маємо:

Отже, значення виразу не залежить від значення змінних.

4. Знаходження значень степенів за допомогою калькулятора або комп’ютера

Для обчислення значень степенів у більшості калькуляторів використовують клавішу

(у деяких калькуляторах це клавіша

Приклад 9.

Обчислити з точністю до тисячних 8^1,2.

Розв’язання. Спочатку вводимо основу степеня - число 8, потім натискаємо клавішу

далі показник степеня 1,2 і клавішу

Округлюємо отримане значення до тисячних: 8^1,2≈ 12,126.

Зауважимо, що в деяких калькуляторах порядок обчислень може бути іншим, тому перед використанням калькулятора радимо ознайомитися з інструкцією.

Також за допомогою калькулятора можна знаходити значення коренів n-го степеня. У деяких калькуляторах є клавіша

(або схожа на неї), що дозволяє виконувати такі обчислення безпосередньо. Якщо такої клавіші немає, то обчислення виконують, враховуючи, що = .

Приклад 10.

Обчислити з точністю до тисячних .

Розв’язання. = . Схема обчислення може бути такою:

Маємо: ≈ 1,258.

А ще раніше …

Поняття степеня було відоме ще в Давній Греції та Вавилоні. Квадрат і куб числа використовували відповідно для знаходження площі квадрата та об'єму куба. Сучасне позначення степеня (а⁴, а⁵, …) увів Рене Декарт (1596-1650) у XVII ст.

Поняття про дробові показники степеня і найпростіші правила дій над степенями з дробовими показниками в 1368 р. виклав французький математик Нікола Орем (1323-1382). Інший французький математик Нікола Шюке (1445 - бл. 1500) у трактаті «Наука про число» (1484 р. опубліковано в 1848 р. у Ліоні) уперше розглянув степені з від'ємним і нульовим показниками.

Німецький математик Міхаель Штифель (1487-1567) дав означення а⁰ = 1, де а ≠ 0, і ввів термін «показник» (це буквальний переклад з німецької слова «exponent»), німецьке слово «potenzieren» означає піднесення до степеня. Голландський математик та інженер Симон Стевін (1548—1620) запропонував під записом розуміти .

• Сформулюйте означення степеня з дробовим показником.

• Сформулюйте властивості степеня з дробовим показником.

• Як обчислити значення степеня за допомогою калькулятора?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Запишіть степінь із дробовим показником у вигляді кореня (15.1-15.2):

15.1

15.2.

Замініть степенем із дробовим показником арифметичний корінь (літерами позначено додатні числа) (15.3—15.4):

15.3.

15.4.

Замініть коренями степені з дробовим показником (15.5—15.6):

15.5.

15.6.

2. Обчисліть (15.7—15.8):

15.7.

15.8.

15.9. Запишіть вираз у вигляді степеня з основою а:

15.10. Запишіть вираз у вигляді степеня з основою b:

Спростіть вираз (15.11—15.12):

15.11.

15.12.

Обчисліть (15.13—15.14):

15.13.

15.14.

Подайте вираз у вигляді суми (15.15—15.16):

15.15.

15.16.

15.17. (Усно.) Чи має зміст вираз:

15.18. За допомогою калькулятора знайдіть значення виразу (результат округліть до тисячних):

15.19. За допомогою калькулятора знайдіть значення виразу (результат округліть до сотих):

Знайдіть значення виразу (15.20—15.21):

15.20.

15.21.

15.22. Знайдіть область визначення функції:

15.23. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

3. Подайте у вигляді степеня (15.24—15.25):

15.24.

15.25.

Обчисліть (15.26—15.27):

15.26.

15.27.

Спростіть вираз (15.28—15.31):

15.28.

15.29.

15.30.

15.31.

15.32. Спростіть вираз

та знайдіть його значення, якщо а = 4, b = 2100.

Винесіть за дужки спільний множник (15.33—15.34):

15.33.

15.34.

Використовуючи тотожність а² - b² - (а - b)(а + b), розкладіть на множники вираз (15.35—15.36):

15.35.

15.36.

Скоротіть дріб (15.37—15.38):

15.37.

15.38.

Порівняйте числа (15.39—15.40):

15.39.

15.40.

Побудуйте графік функції (15.41—15.42):

15.41.

15.42.

Спростіть вираз (15.43—15.44):

15.43.

15.44.

4. 15.45. Доведіть, що значення виразу

не залежить від значень змінних.

15.46. Доведіть, що значення виразу

не залежить від значень змінних.

15.47. Спростіть вираз

та знайдіть його значення, якщо а = 3, b = 2.

15.48. Доведіть, що значення виразу

є додатним, якщо у > х > 0.

15.49. Порівняйте з нулем значення виразу

якщо а > b > 0.

Доведіть тотожність (15.50—15.51):

15.50.

15.51.

15.52. Спростіть вираз

15.53. Спростіть вираз

якщо х = , 0 < b < а.

15.54. Спростіть вираз

якщо

15.55. Родина витрачає 12 % своїх доходів на оплату житла, 48 % - на продукти харчування, 18 % - на ситуативні витрати, а решту, що складає 33 000 грн на рік, на відпочинок. Який річний бюджет у цієї родини?

15.56. Чи можуть бути простими три послідовних непарних числа, якщо менше з них більше за число 3?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

15.57. Побудуйте графік функції та пригадайте її властивості:

15.58. Установіть на свій комп’ютер (планшет або телефон) одну з програм для побудови графіків функцій і побудуйте за допомогою цієї програми графіки функцій, наведених у попередньому номері, та графіки функцій у = х³, y = х⁴ y =