Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§ 14 ІРРАЦІОНАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ

Нерівність називають ірраціональною, якщо вона містить змінну під знаком кореня.

Розглянемо деякі види ірраціональних нерівностей і методи їх розв’язування.

1. Найпростіші ірраціональні нерівності

Найпростішими вважають нерівності вигляду: > а, > а, < а, ≤ а, де а ∈ R, n ∈ N, n ≥ 2. Якщо n - непарне, то після піднесення обох частин нерівності до степеня nотримаємо нерівність, рівносильну даній.

Приклад 1. Розв’язати нерівність: 1) > -1; 2) < 2.

Розв’язання. 1) Піднесемо обидві частини нерівності до третього степеня, маємо: ()³ > (-1)³, тобто х > -1.

2) Маємо: ()⁵ < 2⁵, тобто х ≤ 32.

Відповідь.

1) х > -1;

2) х ≤ 32.

Якщо n — парне число, то після піднесення обох частин нерівності до степеня п отримаємо (на ОДЗ нерівності) нерівність, рівносильну даній, лише за умови а ≥ 0. Отже, під час розв’язування найпростіших нерівностей при парному n треба звертати увагу на число а та на ОДЗ нерівності.

Приклад 2. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. 1) ОДЗ даної нерівності х ≥ 0. На ОДЗ піднесемо до четвертого степеня невід’ємні ліву і праву частини нерівності, отримаємо: ()⁴ > 2⁴, тобто х > 16. Ці значення х задовольняють і ОДЗ.

2) ОДЗ: х ≥ 0. Маємо: ()⁶ < 1⁶, тобто х ≤ 1. Але враховуючи ОДЗ, отримаємо, що 0 ≤ х ≤ 1.

3) Оскільки ≥ 0 для всіх х з ОДЗ, розв’язками нерівності ≥ - 1 будуть усі значення х з ОДЗ нерівності, тобто х ≥ 0.

4) Оскільки ≥ 0 для всіх х, що задовольняють ОДЗ нерівності, то нерівність < -5 розв’язків не має.

Відповідь.

1) х > 16;

2) 0 ≤ х ≤ 1;

3) х ≥ 0;

4) немає розв’язків.

Аналогічно розв’язують нерівності, коли під коренем маємо деякий вираз f(х).

Приклад 3. Розв’язати нерівність: < 3.

Розв’язання. ОДЗ: х + 2 ≥ 0. Враховуючи ОДЗ? після піднесення до степеня маємо: 0 ≤ х + 2 < З⁴. Тоді -2 ≤ х < 79.

Відповідь. -2 ≤ х < 79.

2. Нерівності вигляду

Якщо n — непарне, то піднесенням до степеня n отримаємо рівносильну нерівність.

Приклад 4. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Маємо: х + 1 ≥ 5 - 3х, тобто х ≥ 1.

Відповідь. x ≥ 1.

Якщо n — парне, то ОДЗ нерівності визначаємо із системи:

Після піднесення (на ОДЗ) до степеня n обох частин нерівності

матимемо: f(х) > g(x).

Оскільки g(x) ≥ 0 (на ОДЗ), a f(x) > g(x), то умова f(x) ≥ 0 виконуватиметься автоматично. Отже, якщо n — парне, то нерівність

рівносильна системі нерівностей

Аналогічно: нерівність

рівносильна системі нерівностей

Приклад 5. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Нерівність рівносильна системі: 2х - 1 > 3х - 2, 3х - 2 ≥ 0.

Розв’яжемо її:

Відповідь. ≤ x < 1. З

3. Нерівності вигляду

Розглянемо нерівність < g(x).

Оскільки ≥ 0, a g(x) > , то має виконуватися умова g(x) > 0. За цієї умови підносимо до квадрата обидві частини початкової нерівності, що є невід’ємними, і отримаємо нерівність-наслідок: f(x) < g²(x). Оскільки це нерівність-наслідок, доповнимо її ще нерівністю для ОДЗ: f(х) ≥ 0. Отже, нерівність < g(х) рівносильна системі нерівностей

Аналогічно нерівність ≤ g(x) рівносильна системі нерівностей

Приклад 6. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Маємо рівносильну нерівності систему нерівностей:

Отримаємо, що х > 4 (мал. 14.1).

Відповідь. Х > 4.

Мал. 14.1

4. Нерівності вигляду

Розглянемо нерівність вигляду > g(х). Її ОДЗ: f(х) ≥ 0. Якщо g(x) < 0, то для будь-якого х із ОДЗ нерівність буде правильною.

Якщо ж g(x) ≥ 0, то обидві частини нерівності є невід’ємними. Піднесемо їх до квадрата, матимемо: f(х) > g²(x). Оскільки g²(x) > 0, а f(x) > g²(x), то нерівність f(х) ≥ 0 (ОДЗ нерівності) виконується автоматично.

Отже, підсумовуючи, маємо: нерівність > g (х) рівносильна сукупності систем

Аналогічно нерівність ≥ g(x) рівносильна сукупності систем

Квадратна дужка означає об’єднання (знак сукупності), тобто кожну із систем нерівностей треба розв’язати окремо, а у відповіді отримані результати об’єднати.

Приклад 7. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Нерівність рівносильна сукупності систем:

Мал. 14.2

Об’єднуючи отримані в пунктах 1) і 2) результати, маємо: -1,5 ≤ х ≤ 3.

Відповідь. -1,5 ≤ х ≤ 3.

5. Розв’язування ірраціональних нерівностей, що містять кілька квадратних коренів

Нерівності вигляду ± > а (або ≥ а, < а, ≤ а), де а ∈ R, ± > та їм подібні починаємо розв’язувати зі знаходження ОДЗ нерівності. Після цього застосовуємо прийоми, відомі нам з розв’язування відповідних рівнянь та найпростіших нерівностей.

Приклад 8. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Знайдемо ОДЗ нерівності:

маємо: х ≥ 2.

Перенесемо вираз у праву частину нерівності:

щоб обидві частини нерівності стали невід’ємними. Піднесемо їх до квадрата. Враховуючи ОДЗ, маємо систему, рівносильну даній нерівності:

Розв’яжемо її:

отже, 0 ≤ х - 2 < 1, тобто 2 ≤ х ≤ 3.

Відповідь. [2; 3].

6. Розв’язування ірраціональних нерівностей методом інтервалів

Деякі більш складні ірраціональні нерівності, попередньо записані у вигляді f(х) > 0 (або f(х) ≥ 0, f(х) < 0, f(x) ≤ 0), де f(х) - ірраціональний вираз, зручно розв’язувати методом інтервалів. Скористаємося відповідним алгоритмом із § 6 (с. 58) та застосуємо його до розв’язування ірраціональних нерівностей.

Приклад 9. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Перепишемо нерівність у вигляді:

і розглянемо функцію:

ОДЗ нерівності: х ∈ R.

Знайдемо нулі функції f(x), розв’язавши рівняння:

Маємо:

звідки отримаємо, що х = 2; х = 3 - нулі функції f(x).

Мал. 14.3

Числа 2 і 3 позначимо на числовій осі та визначимо знак функції f(х) на кожному з отриманих проміжків (мал. 14.3). Отже, маємо розв’язки нерівності: 2 ≤ х ≤ 3.

Відповідь. 2 ≤ х ≤ 3.

Приклад 10. Розв’язати нерівність:

Розв’язання. Перепишемо нерівність у вигляді

спростимо її ліву частину:

і розглянемо функцію

D(f) = (-∞; 0) ∪ (0; 3]. Позначимо число 0 - точку розриву Функції на числовій осі. Знайдемо нулі функції, розв’язавши рівняння

Отримаємо, що х = 2 (розв’яжіть рівняння самостійно). Позначимо число 2 на тій самій числовій осі.

На кожному з отриманих проміжків (-∞; 0), (0; 2), (2; 3] визначимо знак функції f(х) (мал. 14.4). Отже, 0 < х < 2.

Відповідь. 0 < х < 2.

Мал. 14.4

7. Ірраціональні нерівності з параметрами

Розглянемо ірраціональні нерівності з параметрами.

Приклад 11. Для всіх значень параметра а розв’язати нерівність

Розв’язання. Розглянемо три випадки:

1) а + 2 - 0;

2) а + 2 > 0;

3) а + 2 < 0.

1) а + 2 = 0, тобто а = -2. Тоді маємо нерівність: 0 > 0, отже, х - будь-яке число з ОДЗ змінної, тобто х ≥ 0.

2) а + 2 > 0, тобто а > -2. Поділимо обидві частини нерівності на а + 2, де а + 2 > 0. Маємо: ≥ 1, тоді х ≥ 1.

3) а + 2 < 0, тобто а < -2. Поділимо обидві частини нерівності на а + 2, де а + 2 < 0. Маємо: ≤ 1, тоді 0 ≤ х ≤ 1.

Відповідь. Якщо а < -2, то 0 ≤ х ≤ 1; якщо а = -2, то х ≥ 0; якщо а > -2, то х ≥ 1.

Приклад 12.

При яких значеннях параметрів а і b множина розв’язків нерівності

збігається з проміжком [3; 7)?

Розв’язання. Маємо систему нерівностей, рівносильну даній нерівності:

Множина розв’язків початкової нерівності збігатиметься з проміжком [3; 7), якщо b - а = 7 і = 3. Отже,

Відповідь. а = -1; b = 6

• Як розв’язують найпростіші ірраціональні нерівності для непарного n і як - для парного n?

• Як розв’язують нерівності вигляду > , ≥ для парного n і як - для непарного n?

• Як розв’язують нерівності вигляду < g(x), ≤ g(х)?

• Як розв'язують нерівності вигляду > g(x), > g(x)?

• Як розв’язують ірраціональні нерівності, що містять кілька квадратних коренів?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. 14.1. Чи є число 64 розв’язком нерівності:

14.2. Чи є число 16 розв’язком нерівності:

Розв’яжіть нерівність (14.3—14.10):

14.3.

14.4.

2. 14.5.

14.6.

14.7.

14.8.

14.9.

14.10.

14.11. Знайдіть найменший натуральний розв’язок нерівності

14.12. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності

Розв’яжіть нерівність (14.13—14.16):

14.13.

14.14.

14.15.

14.16.

Скільки цілих розв’язків має нерівність (14.17—14.18):

14.17.

14.18.

Розв’яжіть нерівність (14.19—14.24):

14.19.

14.20.

14.21.

14.22.

4. 14.23.

14.24.

Для всіх значень параметра а розв’яжіть нерівність (14.25— 14.26):

14.25.

14.26.

14.27. При яких значеннях параметрів c i d множина розв’язків нерівності - с > збігається з проміжком [1; 5)?

14.28. При яких значеннях параметрів а і b множина розв’язків нерівності < збігається з проміжком [3; 9]?

14.29. Знайдіть усі цілі розв’язки нерівності ≤ 2х + 2, які задовольняють умову |х| < 5.

14.30. Знайдіть усі цілі розв’язки нерівності ≤ 2х + 4, які задовольняють умову |х| ≤ 6.

Розв’яжіть нерівність (14.31—14.32):

14.31.

14.32.

Розв’яжіть нерівність методом інтервалів (14.33—14.34):

14.33.

14.34.

14.35. Для всіх значень параметра а розв’яжіть нерівність

14.36. При яких значеннях параметра т розв’язком нерівності ≥ 3х є відрізок завдовжки 0,9?

14.37. При яких значеннях параметра b розв’язком нерівності ≥ x + 1 є відрізок завдовжки 1?

14.38. Відомо, що в середньому 80 % курців страждають на захворювання легенів. Знайдіть приблизну кількість осіб, у яких може бути виявлено захворювання легенів, серед мешканців деякого населеного пункту, якщо 1800 осіб з них є курцями.

14.39. (Національна олімпіада Болгарії). Із трьох різних цифр х, у, z складено всі можливі трицифрові числа. Сума цих чисел утричі більша за трицифрове число, кожна цифра якого дорівнює х. Знайдіть цифри х, у, z.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

14.40. Подайте у вигляді степеня:

1) з основою 2 числа 16; 2; ; ;

2) з основою 10 числа 0,001; ; 10; 100.

14.41. Обчисліть значення виразу:

14.42. Подайте вираз у вигляді степеня з основою а:

14.43. Обчисліть значення виразів, використовуючи властивості степенів:

14.44. Спростіть вираз: