Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§7 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

Доведення теореми про похідну складеної функції

Доведемо, що складена функція h(х) = f(g(x)), де функція t = g(x) диференційовна в точці х₀, а функція у = f(t) диференційовна

в точці t₀ =g(x₀), є диференційовною в точці х₀, причому

h'(x0) = f'(t₀) ∙ g'(x₀).

Доведення. Оскільки функція y = f(t) диференційовна в точці t₀, то за лемою 45.1 існує неперервна в точці t₀ функція у = φ(і) така, що для всіх t ∈ D (f) виконується рівність

f(t) - f(t₀) = (t - t₀) φ (t) (1)

і f'(t0) = φ(t₀).

Зробивши в рівності (1) підстановки t = g(x), t₀ = g(x₀), отримаємо рівність

f(g(x)) - f(g(x₀)) = (g(x) - g(x₀)) φ(g(х)), (2)

яка виконується для всіх х із області визначення складеної функції h (x) = f(g(x)).

Оскільки функція t = g(x) є диференційовною в точці х₀, то за лемою 45.1 для неї існує неперервна в точці х₀ функція t = φ₁(х) така, що для всіх х ∈ D (g) виконується рівність

g’(x) - g - (x₀) = (x - x₀)φ₁(x) (3)

і g'(x₀) = φ₁(x₀).

З урахуванням рівності (3) рівність (2) можна переписати так: f(g(x)) - f(g(x₀)) = (х - х₀) φ₁ (х) φ(g(x)).

Функція у = φ₁ (х) φ(g(х)) є неперервною в точці х₀ (доведіть це самостійно). Тому за лемою 45.1 складена функція h(x) = f(g(x)) є диференційовною в точці х₀ і

h'(x₀) = φ₁ (x₀) φ(g(x₀)) = φ₁ (х₀) φ(t₀) = g' (х₀) f(t₀).