Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§6 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

Доведення першої теореми Больцано—Коші

Розглянемо неперервну на відрізку [а; b] функцію f таку, що числа f(а) і f(b) мають різні знаки. Доведемо існування такої точки с ∈ (а;b), що f(с) = 0.

Припустимо, що такої точки с ∈ (а;b) не існує, тобто f(с) ≠ 0 для всіх с ∈ (а; b).

¹ Хордою графіка функції називають будь-який відрізок, що сполучає дві точки графіка.

Нехай с₀ — середина відрізка [а; b].

Оскільки числа f(а) і f(b) різних знаків, то на кінцях одного з відрізків [а; с₀] [с₀; b] функція f набуває значень різних знаків. Позначимо цей відрізок [а₁; b].

Нехай с₁ — середина відрізка [a₁; b₁]. Тоді на кінцях одного з відрізків [а1; c₁] і [с₁; b₁] функція f набуває значень різних знаків. Позначимо цей відрізок [а₂; b₂].

Продовжуючи цей процес, отримаємо послідовність вкладених відрізків

[а; b] ⊃ [а1; b1] ⊃ [а₂; b₂] ⊃ … .

За принципом вкладених відрізків (див. п. 36) існує така точка с, яка належить усім відрізкам [а_n; b_n]. За припущенням f(с) ≠ 0. Нехай, наприклад, f(с) > 0.

Оскільки

Отже, кожна з послідовностей (а_n) і (b_n) прямує до числа с. Нехай хn є тією з точок аn або bn, для якої f(х_n) < 0. Послідовність (х_n) також прямує до числа с. Оскільки функція fнеперервна в точці с, то

Отримали суперечність з нерівністю f(c) > 0.