Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦIЯ

Функціональний підхід Коші

Вам часто доводиться розв’язувати рівняння, тобто шукати такі значення змінної, при підстановці яких у рівняння отримуємо правильну рівність. Такі рівняння можна було б назвати числовими, оскільки їхніми розв’язками є числа. У математиці вивчають й інші рівняння, розв’язками яких є не числа, а функції. Природно, що їх називають функціональними рівняннями.

З функціональними рівняннями ви стикалися раніше. Наприклад, рівність

f(х) = f(-х), х ∈ D(f),

яка задає парні функції, можна розглядати як функціональне рівняння. Розв’язком цього рівняння є будь-яка парна функція.

Ось ще два приклади функціональних рівнянь:

f(x + y) = f(y) + x, x ∈ ℝ, у ∈ ℝ; (1)

f(x + у) = 2f( у) + x - у, x ∈ ℝ, у ∈ ℝ. (2)

Розв’яжемо функціональне рівняння (1).

Якщо в рівність f(x + y) = f(y) + x підставити значення змінної у = 0, то отримаємо:

f(х) = f(0) + х.

Оскільки f(0) — деяка стала, то тим самим доведено, що розв’язками рівняння (1) можуть бути лише лінійні функції виду f(х) = х + с, де с — стала.

Водночас зауважимо, що наведені міркування не гарантують того, що кожна лінійна функція виду f(х) = х + с задовольняє

функціональне рівняння (1). Отже, треба зробити перевірку.

Підставивши функцію f(х) = х + с у функціональне рівняння (1), отримаємо очевидну тотожність

(х + у) + с = (у + с) + x.

Відповідь: f(х) = х + с, де с — будь-яка стала.

Зауважимо, що останній етап розв’язування задачі — перевірка — є важливою частиною розв’язування, оскільки на ньому можуть бути «відсіяні» сторонні розв’язки.

Проілюструємо це на прикладі розв’язування функціонального рівняння (2).

Міркуючи аналогічно попередній задачі, підставимо у = 0. Тоді

f(х) = 2f(0) + х.

Отже, розв’язками функціонального рівняння (2) знову можуть бути лише лінійні функції виду f(х) = х + с, де с — стала.

Проведемо перевірку отриманих функцій. Підставляючи функцію f(х) = х + с у рівняння (2), отримаємо:

х + у + с = 2 (у + с) + х - у; с = 0.

Бачимо, що серед усіх лінійних функцій f(х) = х + с функціональне рівняння (2) задовольняє лише одна: f(х) = х.

Відповідь: f(х) = х.

Функціональні рівняння грають у математиці важливу роль. Оскільки кожне функціональне рівняння задає певну властивість

функцій, то за допомогою функціональних рівнянь можна визначати конкретні класи функцій. Такий спосіб визначення функцій через опис їхніх характерних властивостей у вигляді функціональних рівнянь запровадив відомий французький математик О. Коші. Його ім’я носять такі функціональні рівняння:

f(x + y) = f(x) + f(y),

f(xy) = f(x) + f(y),

f(x + y) = f(x)f(y),

f(xy) = f(x)f(y).

Використовуючи рівняння Коші, можна, наприклад, визначити степеневу функцію f(х) = x⁵.

Розглянемо задачу: знайти всі функції f, визначені на ℝ, які одночасно задовольняють такі умови:

1) f — непарна зростаюча функція;

2) f(2) = 32;

3) f(xy) = f(x)f(y) для всіх значень х > 0, у > 0.

На заняттях математичного гуртка ви зможете розглянути доведення того, що даний перелік умов задовольняє лише степенева функція f(х) = х⁵.

ВПРАВИ

2.41. Знайдіть усі функції f, які для всіх х ∈ ℝ, у ∈ ℝ задовольняють умову f(х) + f(y) = х + у.

2.42. Знайдіть усі функції f, які для всіх х ∈ ℝ, y ∈ ℝ задовольняють умову f(xy + 1) = f(х) + 1.

2.43. Знайдіть усі функції f, які для всіх х ∈ ℝ, y ∈ ℝ задовольняють умову f(y + f(x)) = (x - 1)f(y).

2.44. Чи існує функція f, визначена на ℝ і відмінна від f(х) = х⁵, яка одночасно задовольняє такі умови:

1) f(2) = 32;

2) f(xy) = f(x)f(y) для всіх х > 0, у > 0?

2.45. Знайдіть усі функції f, які для всіх х ∈ ℝ, y ∈ ℝ задовольняють умову f(2х - 3у) +12ху = f(2х) + f(3y).