Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

35. Властивості збіжних послідовностей

У цьому пункті розглянемо деякі властивості збіжних послідовностей.

Теорема 35.1. Збіжна послідовність є обмеженою.

Доведення. Нехай

Тоді, починаючи з деякого номера n₀, усі члени послідовності (а_n) потраплять у проміжок (а - ε; а + ε), де ε — деяке додатне число. Поза цим проміжком знаходитиметься лише скінченна кількість членів послідовності (а_n). Тому проміжок (а - ε; а + ε) можна розширити так, щоб новий проміжок (позначимо його (с; С)) містив усі члени послідовності. Отже, для будь-якого натурального числа n виконуватиметься нерівність с < а_n < С.

З теореми 35.1 випливає, що обмеженість послідовності є необхідною умовою збіжності цієї послідовності. Проте ця умова не є достатньою для збіжності. Наприклад, послідовність із загальним членом аn = (-1)ⁿ є обмеженою, але, як було показано в прикладі 2 п. 33, вона не є збіжною.

ПРИКЛАД 1 Доведіть, що послідовність (аn), яку задано формулою є розбіжною.

Розв’язання. Доведемо, що послідовність (а_n) є необмеженою, а отже, не може бути збіжною. Справді, для всіх n ∈ ℕ, n ≥ 3, має місце нерівність

Крім того, для всіх n ∈ ℕ має місце нерівність

3n² + n ≤ 4n².

Таким чином, для всіх n ∈ ℕ, n ≥ 3, маємо:

Оскільки значення виразу , де n ∈ ℕ, можуть бути як завгодно великими, то послідовність (а_n) не є обмеженою зверху, що доводить розбіжність послідовності (а_n).

Теорема 35.2 Якщо то, починаючи з деякого номера n₀, виконується нерівність a_n > b (а_n < b).

Доведення. Розглянемо випадок, коли а > b. Як задане додатне число є візьмемо число .

Тоді, починаючи з деякого номера n₀, усі члени послідовності потраплять у проміжок (а - ε; а + ε. Оскільки

то проміжок (а - ε; а + ε) містить лише числа, більші за b (рис. 35.1).

Рис. 35.1

Випадок, коли а < b, можна розглянути аналогічно.

Наслідок. Якщо а ≠ 0, то, починаючи з деякого номера b₀, виконується нерівність | а_n | > r, де r — деяке додатне число.

Доведіть цей наслідок самостійно.

Теорема 35.3. Якщо для всіх n ∈ ℕ виконується нерівність а_n ≥ b_n, причому існують границі то а ≥ b.

Доведення. Припустимо, що а < b. Оберемо додатне число є так, щоб (а - ε; а + ε)⋂(b - ε;b + ε) = 0 (рис. 35.2). Тоді, починаючи з деякого номера n₀, усі члени послідовності (аn) потраплять у проміжок (а - ε; а + ε), а всі члени послідовності (bn) — у проміжок (b - ε; b + ε), що суперечить нерівності а_n ≥ b_n при будь-якому натуральному n.

Рис. 35.2

Теорема 35.4 (про двох конвоїрів). Якщо для всіх n ∈ ℕ виконується подвійна нерівність а_n ≤ с_n ≤ b_n, причому послідовності (а_n) і (b_n) збігаються до спільної границі, тобто то послідовність (с_n) також є збіжною і

Доведення. Нехай є — деяке додатне число. Тоді, починаючи з певного номера n₀, усі члени послідовностей (а_n) і (b_n) потраплять у проміжок (а - ε; а + ε). Для всіх n ≥ n₀маємо:

а - ε < а_n ≤ с_n ≤ b_n < а + ε.

Це означає, що для будь-якого додатного числа є існує номер n₀, починаючи з якого всі члени послідовності (с_n) потраплять у проміжок (а - ε; а + ε). Отже,

ПРИКЛАД 2 Доведіть, що

Розв’язання. Оскільки для всіх натуральних n має місце нерівність 5n - 2 > 0, то

Маємо:

Тоді за теоремою про двох конвоїрів

Під час розв’язування багатьох задач буває доцільним використовувати таке твердження:

Ідею доведення цього факту проілюструємо на конкретному прикладі.

ПРИКЛАД 3 Доведіть, що послідовність (хn), яку задано формулою є нескінченно малою.

Розв’язання. Скористаємося нерівністю Бернуллі (1 + х)n ≥ 1 + nх, яка має місце для всіх х >-1 і n ∈ ℕ Маємо:

Звідси для всіх n є N виконується подвійна нерівність:

Оскільки то за теоремою про двох конвоїрів

ПРИКЛАД 4 Доведіть, що

Розв’язання. Доведемо, що для довільного ε > 0 знайдеться номер n₀ такий, що для всіх n ≥ n₀ виконується подвійна нерівність

Зазначимо, що для всіх n ∈ ℕ.

Розглянемо нерівність

Маємо:

Оскільки для всіх а > 1, то

За теоремою 35.2 існує такий номер n₀, що для всіх n ≥ n₀ має місце нерівність

Таким чином, для довільного ε > 0 доведено існування такого n₀, що для всіх n ≥ n₀ виконується подвійна нерівність

Це означає, що

¹ При n = 1 під записом тут і далі будемо розуміти а₁.

ПРИКЛАД 5 Знайдіть границю

Розв’язання. Скористаємося теоремою про двох конвоїрів. Маємо:

Водночас для всіх n ∈ ℕ, n ≥ 2 виконуються нерівності

Оскільки

Тоді за теоремою про двох конвоїрів

Теорема 35.5. Якщо

Доведення. Зауважимо, що з умови аn ≥ 0 і теореми 35.3 випливає нерівність а ≥ 0. Тому вираз має зміст.

Розглянемо випадок а = 0, тобто

Треба довести, що для довільного ε > 0 існує такий номер n₀, що для всіх n ≥ n₀ виконується нерівність тобто а_n < ε². Обґрунтувати останню нерівність можна, якщо в означенні границі

покласти ε₁ = ε².

Розглянемо випадок, коли а > 0.

Помножимо та поділимо вираз на двочлен

Маємо:

З умови випливає, що

Крім цього, має місце нерівність

тому

Нехай

Тоді доведено, що

Таким чином,

Міркуючи аналогічним чином, можна довести й таку теорему.

Теорема 35.6 (границя кореня). Якщо де аn ≥ 0, то де k ∈ ℕ, k > 1.

ПРИКЛАД 6 Обчисліть границю

Розв’язання. Проведемо тотожні перетворення:

Тепер отримуємо:

ВПРАВИ

35.1. Доведіть, що границя послідовності (х_n) дорівнює нулю, якщо:

35.2. Доведіть, що границя послідовності (хn) дорівнює нулю, якщо:

35.3. Обчисліть границю:

35.4. Обчисліть границю:

35.5. Знайдіть границю:

35.6. Знайдіть границю:

35.7. Для даної збіжної послідовності (аn) знайдіть таку нескінченно малу послідовність (β_n), що а_n = а + β_n, де а — границя послідовності (а_n):

35.8. Для даної збіжної послідовності (аn) знайдіть таку нескінченно малу послідовність (β_n), що а_n = а + β_n, де а — границя послідовності (а_n):

35.9. Для членів послідовностей (а_n) і (b_n) при кожному n ∈ ℕ виконуються нерівності 0 ≤ а_n ≤ b_n. Чи є правильним твердження:

1) якщо послідовність (b_n) нескінченно мала, то й послідовність (а_n) нескінченно мала;

2) якщо послідовність (а_n) нескінченно мала, то й послідовність (b_n) нескінченно мала?

35.10. Чи є збіжною послідовність:

35.11. Чи є збіжною послідовність:

35.12. Обчисліть границю

35.13. Обчисліть границю

35.14. Обчисліть границю

35.15. Обчисліть границю

35.16. Доведіть рівність де q ∈ (-1; 1).

35.17. Доведіть рівність де а ≥ 1.

35.18. Знайдіть границю послідовності:

35.19. Доведіть, що є нескінченно малою послідовність:

35.20. Послідовність (а_n) прямує до нуля. Чи можна стверджувати, що має границю послідовність (S_n), яку задано формулою S_n = a₁ + a₂ + … + a_n ?

35.21. Знайдіть границю послідовності:

35.22. Знайдіть границю послідовності:

35.23. Побудуйте графік функції

35.24. Знайдіть границю послідовності

35.25. Знайдіть границю послідовності

35.26. Наведіть приклад такого n ∈ ℕ, що і доведіть необмеженість послідовності