Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

30.Тригонометричні нерівності

Нерівності виду f(х) > а, f(х) < а, де f — одна із чотирьох тригонометричних функцій, називають найпростішими тригонометричними нерівностями.

Підґрунтям для розв’язування цих нерівностей є таке наочне міркування: множиною розв’язків нерівності f(x) > g(x) є множина тих значень змінної х, при яких точки графіка функції f розміщені вище за відповідні точки графіка функції g (рис. 30.1). За допомогою цього рисунка встановлюємо, що проміжок (а; b) — множина розв’язків нерівності f(x) > g(x).

Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей проводитимемо за такою схемою: знайдемо розв’язки на проміжку, довжина якого дорівнює періоду даної функції; усі інші розв’язки відрізняються від знайдених на Тn, де Т — період даної функції, n ∈ ℤ, n ≠ 0.

Розглянемо приклади.

Рис. 30.1

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність sin x > .

Розв’язання. На рисунку 30.2 зображено графіки функцій у = sin х і у = .

Оскільки то графіки перетинаються в точках з абсцисами

Рис. 30.2

Розв’яжемо цю нерівність на проміжку завдовжки в період функції у = sin x.

На цьому проміжку графік функції у = sin х знаходиться вище за графік функції у = при (рис. 30.2).

Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх проміжків виду n ∈ ℤ. Таке об’єднання прийнято позначати так:

Відповідь записують одним із трьох способів:

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Оскільки то розв’яжемо цю нерівність на проміжку тобто на проміжку

На розглядуваному проміжку графік функції у = sin х знаходиться нижче від графіка функції при (рис. 30.3).

Рис. 30.3

Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх проміжків виду

Відповідь:

У прикладах 1 і 2, розв’язуючи нерівності виду sin х > а і sin х < а, ми розглядали проміжок виду [arcsin a; arcsin а + 2]. Зрозуміло, що розв’язування можна провести, розглядаючи будь-який інший проміжок, довжина якого дорівнює 2, наприклад проміжок [-2 + arcsin a; arcsin а].

ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Маємо:

Розв’яжемо дану нерівність на проміжку тобто на проміжку

На цьому проміжку графік функції у = cos х розміщений вище за графік функції при (рис. 30.4).

Рис. 30.4

Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх проміжків виду

Відповідь:

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність tg x < 1.

Розв’язання. Розв’яжемо дану нерівність на проміжку

Оскільки arctg 1 = , то на розглядуваному проміжку графік функції у = tg х розміщений нижче від графіка функції у = 1 при (рис. 30.5).

Рис. 30.5

Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх проміжків виду

Відповідь:

ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність ctg x ≥ -.

Розв’язання. Розв’яжемо дану нерівність на проміжку (0; ).

Оскільки то на розглядуваному проміжку графік функції у = ctg х розміщений не нижче від графіка функції y = - при (рис. 30.6).

Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх проміжків виду

Відповідь:

Рис. 30.6

Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей можна інтерпретувати за допомогою одиничного кола.

ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Виділимо на одиничному колі множину точок, абсциси яких не менші від і менші від (рис. 30.7).

Множина розв’язків даної нерівності — це множина таких чисел х, що точки Р_х = R_xO(Р₀) належать дузі АВ або дузі CD.

Маємо:

Уявимо собі, що ми рухаємося по дугах АВ і CD проти годинникової стрілки. Тоді можна записати:

Рис. 30.7

З урахуванням періодичності функції у = cos х переходимо до сукупності, яка рівносильна даній нерівності:

Відповідь:

У 9 класі ви ознайомилися з методом інтервалів для розв’язування раціональних нерівностей. Цей метод можна використовувати і для розв’язування тригонометричних нерівностей.

ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть нерівність sin 2х + sin x > 0.

Розв’язання. Розглянемо функцію f(x) = sin 2х + sin х, D(f) = ℝ, яка є періодичною з періодом 2.

Знайдемо нулі функції f на проміжку [-; ].

Маємо: sin 2х + sin х = 0;

На проміжку [-; ] функція f має п’ять нулів: . Ці числа розбивають указаний проміжок на проміжки знакосталості (рис. 30.8).

Рис. 30.8

Функція f набуває додатних значень на проміжках

З урахуванням періодичності функції f запишемо відповідь.

Відповідь: - + 2 n < х <- + 2 n або 2 n < х < + 2 n, n ∈ ℤ.

ПРИКЛАД 8 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Розглянемо функцію

Вона є періодичною з періодом 2.

Знайдемо нулі функції f на проміжку

Маємо:

На проміжку функція f має чотири нулі:

Функція f на проміжку не визначена в точках

Ці числа і нулі функції f розбивають проміжок на проміжки знакосталості (рис. 30.9).

Рис. 30.9

З урахуванням періодичності функції f запишемо відповідь.

Відповідь:

ВПРАВИ

30.1. Розв’яжіть нерівність:

30.2. Розв’яжіть нерівність:

30.3. Розв’яжіть нерівність:

30.4. Розв’яжіть нерівність:

30.5. Розв’яжіть нерівність:

30.6. Розв’яжіть нерівність:

30.7. Розв’яжіть нерівність:

30.8. Розв’яжіть нерівність:

30.9. Розв’яжіть нерівність:

30.10. Розв’яжіть нерівність:

30.11. Розв’яжіть нерівність:

1) sin 2х - sin 3х > 0; 3) 1 - sin2x ≥ cosx - sinx;

2) cos2xtgx > 0; 4) sin х + sin 2х + sin 3х > 0.

30.12. Розв’яжіть нерівність:

1) sin 2х + 2 sin х > 0;

2) sin х + sin 2х + sin 3х + sin 4х < 0;

3) sin² х + sin² 2х - sin² 3х > 0;

4) cosxcos3x < cos5xcos7x.