Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

24. Функції у = arccos х і у = arcsin х

Для будь-якого а є [-1; 1] рівняння cos х = а на проміжку [0; ] має єдиний корінь, який дорівнює arccos а (рис. 24.1). Отже, кожному числу х із проміжку [-1; 1] можна поставити у відповідність єдине число у із проміжку [0; ] таке, що у = arccos х.

Указане правило задає функцію f(х) = arccos х із областю визначення D(f) = [-1; 1] та областю значень E(f) = [0; ].

Рис. 24.1

Функція f є оберненою до функції g(x) = cos х із областю визначення D(g) = [0; ].

Справді, D(f) = E(g) = [-1; 1];

E(f) = D(g) = [0; ].

З означення арккосинуса випливає, що для всіх х із проміжку [-1; 1] виконується рівність

cos(arccos x) = х

Іншими словами, g(f(x)) = х для всіх х ∈ D(f).

Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції.

Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п. 3, дають змогу визначити деякі властивості функції f(х) = arccos х.

Оскільки функція g(x) = cos х, D(g) = [0; ], є спадною, то з теореми 3.3 випливає, що функція f(х) = arccos х також є спадною.

Для будь-якого х ∈ D(g) маємо: f(g(x)) = x. Це означає, що для будь-якого х ∈ [0; ] виконується рівність

arccos(cos х) = х

Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х. Спираючись на це, можна побудувати графік функції f(х) = arccos х (рис. 24.2).

Рис. 24.2

Рис. 24.3

Відзначимо ще одну властивість функції у = arccos х: для будь-якого х ∈ [-1; 1] виконується рівність

arccos (-х) = - arccos х (1)

Наприклад,

Ця властивість має просту графічну ілюстрацію. На рисунку 24.3 АВ = MN = arccos х₀, NP = arccos (-х₀), a MN + NP = .

Доведемо рівність (1). Нехай arccos (-х) = а₁, - arccos х = а₂. Зауважимо, що a₁ ∈ [0; ], а₂ є [0; ]. Функція у = cos х є спадною на проміжку [0; ], тому на цьому проміжку кожного свого значення вона набуває тільки один раз. Отже, показавши, що cos = cos а₂, ми тим самим доведемо рівність a₁ = а₂.

Маємо: cos a₁= cos (arccos (-x)) = -x;

cos a₂ = cos ( - arccos x) = -cos (arccos x) = -x.

Для будь-якого а є [-1; 1] рівняння sin x = а на проміжку має єдиний корінь, який дорівнює arcsin а (рис. 24.4). Отже, кожному числу х із проміжку [-1; 1] можна поставити у відповідність єдине число у із проміжку таке, що у = arcsin х.

Указане правило задає функцію f(х) = arcsin х із областю визначення D(f) = [-1; 1] та областю значень

Рис. 24.4

Функція f є оберненою до функції g(x) = sin х із областю визначення

Справді,

З означення арксинуса випливає, що для всіх х ∈ [-1; 1] виконується рівність

sin (arcsin х) = х

Іншими словами, g(f(x)) = х для всіх х ∈ D(f).

Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції. Визначимо деякі властивості функції f(х) = arcsin х.

Оскільки функція g(x) = sin х, є непарною, то функція f(х) = arcsin х також є непарною (див. ключову задачу 3.16).

Інакше кажучи, для будь-якого х ∈ [-1; 1] виконується рівність

arcsin (-х) = -arcsin х

Наприклад,

Функція g(x) = sin х, є зростаючою. Отже, функція f(х) = arcsin х також є зростаючою (див. теорему 3.3).

Для будь-якого х ∈ D(g) маємо: f(g(x)) = х. Це означає, що для будь-якого виконується рівність arcsin (sin х) = х

Знову скористаємося тим, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = x.

На рисунку 24.5 показано, як за допомогою графіка функції

g(x) = sin х,

побудувати графік функції f(х) = arcsin х.

Доведемо, що для будь-якого х ∈ [-1; 1] виконується рівність

Для цього покажемо, що

Маємо:

Крім того, 0 ≤ arccos х ≤ , а тому

Рис. 24.5

Бачимо, що значення виразів arcsin х і - arccos х належать проміжку зростання функції у = sin х. Отже, достатньо показати, що

Маємо:

ПРИКЛАД 1 Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = 4 - arccos 3х.

Розв’язання. Оскільки 0 ≤ arccos3x ≤ , то - ≤ -arccos 3х ≤ 0 і 4- ≤ 4 - arccos3x ≤ 4.

Зазначимо, що

Відповідь: найменше значення дорівнює 4 - , найбільше значення дорівнює 4.

ПРИКЛАД Обчисліть: 1) 2) arcsin (sin 6).

Розв’язання. Використовуючи формулу arccos (cos х) = х, де х ∈ [0; ] , маємо:

Відповідь: .

2) Здавалося б, відповідь можна отримати одразу, зважаючи на рівність arcsin (sin х) = х. Проте число х = 6 не належить проміжку а отже, не може дорівнювати значенню арксинуса.

Правильне міркування має бути, наприклад, таким:

arcsin (sin 6) = arcsin (sin (6 - 2)).

Оскільки

То arcsin (sin 6) = 6 - 2.

Відповідь: 6 - 2.

ПРИКЛАД : Обчисліть

Розв’язання. Нехай arccos = а, тоді а ∈ [0; ] і cosa = . Таким чином, задачу зведено до пошуку значення sina.

Урахуємо, що коли а ∈ [0; ], то sin a ≥ 0. Тоді отримуємо:

Відповідь: .

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність arccos (2х -1) > .

Розв’язання. Перепишемо дану нерівність у такому вигляді:

arccos (2х -1) > arcos .

Оскільки функція арккосинус є спадною, то дана нерівність рівносильна системі

Звідси

Відповідь:

ПРИКЛАД 5 Побудуйте графік функції у = arcsin (sin х).

Розв’язання. Здається природним припустити, що шуканим графіком є пряма у = х. Проте це неправильно, оскільки arcsin (sin х) = х лише за умови | х | ≤ .

Дана функція є періодичною з періодом Т = 2, тому достатньо побудувати її графік на проміжку завдовжки в період.

Якщо то arcsin (sin х) = х. Отже, на проміжку шуканий графік — це відрізок прямої у = х.

Якщо

отже, arcsin (sin х) = arcsin (sin ( - х)) = - х.

Таким чином, на проміжку шуканий графік — це відрізок прямої у = - х.

Графік функції у = arcsin (sin х) зображено на рисунку 24.6.

Рис. 24.6

ВПРАВИ

24.1. Чи є правильною рівність:

24.2. Чи є правильною рівність:

24.3. Обчисліть:

24.4. Обчисліть:

24.5. Знайдіть область визначення функції:

24.6. Знайдіть область визначення функції:

24.7. Знайдіть найбільше і найменше значення функції:

24.8. Знайдіть найбільше і найменше значення функції:

1) y = arccos х + ; 2) y = arcsin х + 1.

24.9. Обчисліть:

24.10. Обчисліть:

24.11. Розв’яжіть рівняння:

24.12. Розв’яжіть рівняння:

24.13. Розв’яжіть нерівність:

24.14. Розв’яжіть нерівність:

5) arccos х > .

24.15. Знайдіть область визначення функції:

24.16. Знайдіть область визначення функції:

24.17. Знайдіть область значень функції:

24.18. Знайдіть область значень функції:

24.19. Доведіть, що при | х | ≤ 1 виконується рівність

24.20. Доведіть, що при | х | ≤ 1 виконується рівність

24.21. Обчисліть значення виразу:

24.22. Обчисліть значення виразу:

24.23. Розв’яжіть рівняння:

1) arcsin(3x - 2) = arcsin (-х + 2);

2) arccos(3x - 16) = arccos(x² - 26).

24.24. Розв’яжіть рівняння:

1) arccos(3x + 2) = arccos(5x + 3);

2) arcsin (x² - 4) = arcsin (2x + 4).

24.25. Розв’яжіть нерівність:

24.26. Розв’яжіть нерівність:

24.27. Розв’яжіть нерівність:

1) arcsin (3х - 2) > arcsin (5х - 3); 2) arccos (2х - 1) < arcos .

24.28. Розв’яжіть нерівність:

1) arcsin (х² - х) > arcsin (3х - 4); 2) arccos (1 - 2х) < arcos .

24.29. Побудуйте графік функції:

1) у = arcsin | х - 1|; 2) у = arccos | 2х + 1|.

24.30. Побудуйте графік функції:

1) у = arccos (| х | +1);

24.31. Побудуйте графік функції

24.32. Побудуйте графік функції:

1) у = sin (arcsin х); 3) у = cos (2 arcsin х);

2) у = cos (arcsin х); 4) у = sin (arcsin х + arccos х).

24.33. Побудуйте графік функції:

1) у = cos (arcos х); 3) у = cos (2 arccos х);

2) у = sin (arcos х); 4) у = cos (arcsin х + arccos х).

24.34. Побудуйте графік функції у = arccos (cos х).

24.35. Обчисліть значення виразу:

3) arcsin (sin 3);

4) arcsin (cos 8).

24.36. Обчисліть значення виразу:

24.37. Розв’яжіть рівняння

24.38. Розв’яжіть рівняння:

24.39. Доведіть, що

24.40. Доведіть, що

24.41. Доведіть, що

24.42. Доведіть, що

24.43. Розв’яжіть рівняння arcsin 2х + arcsin х = .

24.44. Розв’яжіть рівняння arcsin х + arcsin = .