Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

22. Рівняння sin x = b

Оскільки областю значень функції у = sin х є проміжок [-1; 1], то при | b | > 1 рівняння sin х = b не має розв’язків. Разом з тим при будь-якому b такому, що | b | ≤ 1, це рівняння має корені, причому їх безліч.

Зазначимо, що окремі випадки рівняння sin x = b (для b = 1, b = 0, b = -1) було розглянуто раніше (див. п. 11). Нагадаємо отримані результати:

Для того щоб отримати загальну формулу коренів рівняння sin х = b, де | b | ≤ 1, звернемося до графічної інтерпретації.

На рисунку 22.1 зображено графіки функцій у = sin х і у = b, | b | ≤ 1.

Рис. 22.1

Розглянемо функцію у = sin х на проміжку тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона частина кривої на рисунку 22.1). На цьому проміжку рівняння sin х = b має два корені. Позначимо корінь, який належить проміжку через а. Оскільки sin ( - а) = sin а, то другий корінь дорівнює - а. Зауважимо, що при b = 1 корені а і — а збігаються та дорівнюють .

Оскільки функція у = sin х є періодичною з періодом 2, то кожен з інших коренів рівняння sin х = b відрізняється від одного зі знайдених коренів на число виду 2 n, n ∈ ℤ.

Тоді корені рівняння sin х = b можна задати формулами х = a + 2 n і х = - а + 2 n, n ∈ ℤ.

Ці дві формули можна замінити одним записом:

х = (-1)k а + k, k ∈ ℤ. (1)

Справді, якщо k — парне число, тобто k = 2n, n ∈ ℤ, то отримуємо: х = а + 2 n; якщо k — непарне число, тобто k = 2n + 1, n ∈ ℤ, то отримуємо: х = -а + + 2 n = - а + 2 n.

Формула (1) показує, що корінь а відіграє особливу роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння sin x = b. Корінь а має спеціальну назву — арксинус.

Означення. Арксинусом числа b, де | b | ≤ 1, називають таке число а з проміжку синус якого дорівнює b.

Для арксинуса числа b використовують позначення arcsin b. Наприклад,

Узагалі, arcsin b = а, якщо і sin а = b.

Зазначимо, що, наприклад,

Проте оскільки

Тепер формулу (1) для коренів рівняння sin х = b | b | ≤ 1, можна записати або у вигляді сукупності:

або одним записом:

(2)

Узагалі, одну й ту саму відповідь до тригонометричних рівнянь часто можна подати в різних формах запису.

Зрозуміло, що формулу (2) можна застосовувати і для окремих випадків: b = 1, b = 0, b = -1. Проте рівняння sin х = 1, sin х = 0, sin х = -1 зустрічатимуться досить часто, тому радимо запам’ятати формули їхніх коренів, які записано на початку пункту.

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. 1) Використовуючи формулу (2), запишемо:

Далі отримуємо:

Відповідь:

2) Перепишемо дане рівняння у вигляді

Тоді

Відповідь:

3) За формулою коренів рівняння sin х = -1 можемо записати:

Далі маємо:

Відповідь:

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння cos х + sin х = 2.

Розв’язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді

Оскільки то можна записати:

Використовуючи формулу синуса суми sin a cos β + cos а sin β = sin (а + β), отримаємо:

Звідси

Відповідь:

Зауважимо, що під час розв’язування рівняння прикладу 2 можна було скористатися й іншими формулами додавання, наприклад формулою косинуса різниці cos a cos β + sin а sin β = cos (а - β). Справді, оскільки

то

Звідси отримуємо ту саму відповідь: х = + 2 n, n ∈ ℤ.

ПРИКЛАД З Скільки коренів залежно від значення параметра b має на проміжку [0; 2) рівняння

(3)

Розв’язання. Дане рівняння рівносильне сукупності

Друге рівняння цієї сукупності на проміжку [0; 2) має два корені:

При | b | > 1 рівняння sin х = b коренів не має. Отже, рівняння (3) має два корені.

Якщо b = 1 або b = - 1, то рівняння sin x = b на проміжку [0; 2) має один корінь (це відповідно число або число ), причому цей корінь не збігається з коренями другого рівняння сукупності. Таким чином, при | b | = 1 рівняння (3) має три корені.

Якщо | b | < 1, то рівняння sin х = b на проміжку [0; 2) має два корені. Через це може здаватися, що рівняння (3) в цьому випадку матиме чотири корені. Насправді один із коренів рівняння sin х = b може збігатися із числом або із числом .

Знайдемо значення параметра b, при яких числа є коренями рівняння sin х = b. Маємо:

При рівняння sin х = b на проміжку [0; 2) має два корені а рівняння (3) має три корені:

При аналогічно отримуємо, що рівняння (3) має три корені:

Відповідь: якщо b < -1 або b > 1, то 2 корені; якщо b = -1, або 6 = 1, або або то 3 корені; якщо або то 4 корені.

ВПРАВИ

22.1. Розв’яжіть рівняння:

22.2. Розв’яжіть рівняння:

22.3. Розв’яжіть рівняння:

22.4. Розв’яжіть рівняння:

22.5. Розв’яжіть рівняння:

22.6. Розв’яжіть рівняння:

22.7. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння

22.8. Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння

22.9. Знайдіть усі корені рівняння які належать проміжку

22.10. Скільки коренів рівняння належать проміжку

22.11. Розв’яжіть рівняння:

22.12. Розв’яжіть рівняння:

22.13. Розв’яжіть рівняння:

22.14. Розв’яжіть рівняння:

22.15. При яких значеннях параметра а рівняння (а² - 1) sin х = а + 1 має розв’язки?

22.16. При яких значеннях параметра а рівняння (а + 4) sin² 2х = а² - 16 має розв’язки?

22.17. При яких значеннях параметра а рівняння має розв’язки?

22.18. При яких значеннях параметра а рівняння має розв’язки?

22.19. При яких додатних значеннях параметра а проміжок містить не менше ніж чотири корені рівняння sin x = ?

22.20. При яких від’ємних значеннях параметра а проміжок [а; 0] містить не менше ніж три корені рівняння sin х = -?

22.21. Визначте кількість коренів рівняння sin х = а залежно від значення параметра а на проміжку:

22.22. Визначте кількість коренів рівняння sin х = а залежно від значення параметра а на проміжку:

22.23. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння на проміжку [0; 2)?

22.24. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння на проміжку (0; 2]?