Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ

17. Формули додавання

Формулами додавання називають формули, які виражають cos (а ± β), sin (а ± β) і tg(a ± β) через тригонометричні функції кутів а і β.

Доведемо, що

cos (а - β) = cos a cos β + sin a sin β.

Нехай точки Р₁ і Р₂ отримано в результаті повороту точки Р₀(1; 0) на кути a і β відповідно.

Розглянемо випадок, коли 0 ≤ a - β ≤ . Тоді кут між векторами дорівнює a - β (рис. 17.1). Координати точок Р₁ і Р₂ дорівнюють відповідно (cos a; sin a) і (cos β; sinβ). Отже, вектор має координати (cos a; sin a), а вектор — (cos β; sin β).

Виразимо скалярний добуток векторів через їхні координати:

Водночас за означенням скалярного добутку векторів можна записати:

Рис. 17.1

Звідси отримуємо формулу, яку називають косинусом різниці:

(1)

Покажемо, що доведення не зміниться при будь-якому виборі кутів а і β, зокрема, коли (а - β) ∉ [0; ].

Кути поворотів а і β для точок Р₁ і Р₂ відповідно можна подати в такому вигляді:

Тоді кут між векторами набуває одного із чотирьох значень: а₁ - β₁ (рис. 17.2); β₁ - а₁ (рис. 17.3); 2 - (а₁ - β₁) (рис. 17.4); 2 - (β₁ - а₁) (рис. 17.5).

Рис. 17.2

Рис. 17.3

Рис. 17.4

Рис. 17.5

У кожному із чотирьох випадків косинус кута між векторами дорівнює cos (а - β). Далі залишається тільки повтори ти наведені вище міркування для випадку, коли (а - β) ∈ [0; ]. Доведемо формулу косинуса суми:

Маємо: cos (а + β) = cos (а - (-β)) = cos а cos (-β) + sin а sin (-β) = cos а cos β - sin а sin β.

Доведемо формули синуса суми й синуса різниці:

За допомогою формули (1) доведемо, що

Справді,

Тепер доведемо, що

Маємо:

Тоді

Формули тангенса суми й тангенса різниці мають вигляд:

(2)

(3)

Доведемо формулу (2). Маємо:

Припустивши, що cos a cos β ≠ 0, отриманий дріб можна переписати так:

Формулу тангенса різниці (3) доведіть самостійно.

Тотожність (2) справедлива для всіх а і β, при яких cos (а + β) ≠ 0, cos а ≠ 0, cos β ≠ 0.

Тотожність (3) справедлива для всіх а і β, при яких cos (а - β) ≠ 0, cos а ≠ 0, cos β ≠ 0.

ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз

Розв’язання. Маємо:

ПРИКЛАД 2 Доведіть тотожність

Розв’язання.

ПРИКЛАД 3 Знайдіть значення виразу

Розв’язання. Використовуючи формулу тангенса суми кутів 70° і 65°, маємо:

ПРИКЛАД 4 Знайдіть cos 15°. Розв’язання. Маємо:

ПРИКЛАД 5 Знайдіть найбільше і найменше значення виразу cos a + sin a.

Розв’язання. Подамо даний вираз у вигляді синуса суми. Для цього помножимо та поділимо даний вираз на 2:

Ураховуючи, що

отримуємо:

Отже, найбільше значення даного виразу дорівнює 2 (вираз набуває його при sin (30° + а) = 1), найменше значення дорівнює -2

(вираз набуває його при sin (30° +а) =-1).

ПРИКЛАД 6 Дано:

0° < а < 90°,

0° < β < 90°. Знайдіть а + β.

Розв’язання. Оскільки 0° < а < 90°, 0° < β < 90°, то 0° < a + β < 180°. На проміжку (0°;180°) косинус набуває кожного свого значення з проміжку (-1; 1) один раз. Отже, знайшовши cos(a + β), можна визначити і значення а + β. Маємо:

Тоді

Беручи до уваги, що 0° < a + β < 180°, отримуємо: a + β = 135°.

ВПРАВИ

17.1. Спростіть вираз:

17.2. Спростіть вираз:

17.3. Спростіть вираз:

17.4. Спростіть вираз:

17.5. Відомо, що Знайдіть значення виразу tg(a + β).

17.6.Відомо, що tg a = 3, tg β = 5. Знайдіть значення виразу tg(a - β).

17.7. Спростіть вираз:

17.8. Спростіть вираз:

17.9. Доведіть тотожність:

17.10. Доведіть тотожність:

17.11. Дано: sin а = , 90°< а < 180°. Знайдіть sin (а + 45°).

17.12. Дано : cos aс = -0,6, 180° < a < 270°. Знайдіть cos (60° = a).

17.13. Знайдіть cos (а + β), якщо

17.14.° Знайдіть sin (а - β), якщо

17.15. Дано: Знайдіть tg(a + β).

17.16. Відомо, що tga = . Знайдіть tg(45° + a).

17.17. Доведіть тотожність:

17.18. Доведіть тотожність

17.19. Спростіть вираз:

17.20. Спростіть вираз:

1) cos 2а + sin 2а tg а; 2) cos 4а - sin 4а ctg 2а.

17.21. Користуючись формулами додавання, знайдіть:

1) sin 15°; 2) sin 105°; 3) ctg 105°.

17.22. Користуючись формулами додавання, знайдіть:

1) cos 75°; 2) sin 75°.

17.23. Спростіть вираз:

17.24. Спростіть вираз:

17.25. Доведіть тотожність:

17.26. Доведіть тотожність:

17.27. Знайдіть найбільше значення виразу:

17.28. Знайдіть найбільше значення виразу:

17.29. Дано: Знайдіть sin а.

17.30. Дано: Знайдіть sin а.

17.31. Дано: cos(5° + а) = 0,6, 0° < а < 55°. Знайдіть tg(35° + a).

17.32. Дано: sin(40° + a) = b, 0° < a < 45°. Знайдіть cos(70° + a).

17.33. Дано: Знайдіть a - β.

17.34. Дано: 0° < a < 90°, 0° < β < 90°. Знайдіть a + β.

17.35. Дано: 0° < a < 90°, 0° < β < 90°. Знайдіть a + β.

17.36. Побудуйте графік функції:

17.37. Побудуйте графік функції:

17.38. Доведіть, що коли а, β, у — кути непрямокутного трикутника, то tg a + tg β + tg у = tg a tg β tg y.

17.39. Доведіть, що коли a, β, у — кути трикутника, то

17.40. Обчисліть (1 + tga)(1 + tg β), якщо а + β = , а > 0, β > 0.

17.41. Обчисліть (1 + ctg а) (1 + ctg β), якщо а + β = , а > 0, >0.

17.42. Доведіть нерівність sin (а + β) < cos а + cos β, де 0 < а < , 0 < β < .

17.43. Доведіть нерівність cos (а - β) < cos а + sin β, де 0 < а < , 0 < β < .

17.44. Відомо, що sin а + sin β + sin у ≥ . Доведіть, що cos а + cos β + cos у ≤ 2.

17.45. Доведіть нерівність де а, β, у — кути трикутника.

17.46. Доведіть нерівність де а, β, у — кути трикутника.

17.47. Знайдіть усі функції f, визначені на ℝ, такі, що для всіх х ∈ ℝ, у ∈ ℝ. виконується рівність f(х + у) = f(х) cos у + f (у) cos х.

17.48. Знайдіть усі функції f, визначені на проміжку [-1; 1], такі, що для всіх x ∈ ℝ, у ∈ ℝ виконується рівність f(cos x)f(cos у) + f(sin x)f(sin у) = cos (х - у).