Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§1 ПОВТОРЕННЯ СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ З КУРСУ АЛГЕБРИ 8-9 КЛАСІВ

1. Задачі на повторення І курсу алгебри 8-9 класів

ВПРАВИ

Перетворення раціональних виразів

1.1. Спростіть вираз

1.2. Спростіть вираз

1.3. Спростіть вираз

1.4. Спростіть вираз

1.5. Доведіть тотожність

1.6. Доведіть тотожність

1.7. Доведіть тотожність

1.8. Спростіть вираз

1.9. Спростіть вираз

1.10. Спростіть вираз

1.11. Доведіть тотожність

1.12. Спростіть вираз

1.13. Відомо, що а² - а - 1 = 0. Доведіть, що

1.14. Доведіть, що коли

1.15. Доведіть, що коли

1.16. Розкладіть на множники вираз х² (у - z) + у²(z - х) + r² (х - у).

1.17. Розкладіть на множники вираз х (y² - z²) + у (z² - х²) + z (х² - у²).

1.18. Попарно різні числа а, b, с є такими, що Доведіть, що | abc | = 1.

Перетворення виразів, які містять квадратні корені

1.19. Знайдіть значення виразу

1.20. Знайдіть значення виразу

1.21. Знайдіть значення виразу

1.22. Знайдіть значення виразу

1.23. Знайдіть значення виразу

1.24. Знайдіть значення виразу

1.25. Знайдіть значення виразу

1.26. Знайдіть значення виразу

1.27. Доведіть, що

1.28. Доведіть, що

1.29. Доведіть, що

1.30. Доведіть, що

1.31. Знайдіть значення виразу

1.32. Спростіть вираз

1.33. Спростіть вираз

1.34. Спростіть вираз

1.35. Спростіть вираз

1.36. Спростіть вираз якщо 0 < х < 1.

1.37. Спростіть вираз

1.38. Спростіть вираз

якщо 0 < b < 1.

1.39. Спростіть вираз

1.40. Спростіть вираз

1.41. Спростіть вираз

1.42. Спростіть вираз

1.43. Спростіть вираз

Раціональні рівняння та нерівності

1.44. Розв’яжіть рівняння:

1.45. Розв’яжіть рівняння:

1.46. Розв’яжіть рівняння:

1.47. Розв’яжіть рівняння

1.48. Розв’яжіть нерівність:

1.49. Розв’яжіть нерівність:

1.50. При яких значеннях параметра а рівняння (а + 4) х² + (а + 4) х + 3 = 0 має корені?

1.51. При яких значеннях параметра а рівняння (а + 3) х² + (а² + 3а) х + 1 = 0 має єдиний корінь?

1.52. Знайдіть значення параметра а, при яких сума коренів рівняння х² - (а² - 4а + 3) х + а - 2 = 0 дорівнює нулю.

1.53. При яких значеннях параметра а різниця коренів рівняння (а - 2) х² - (а - 4) х - 2 = 0 дорівнює З?

1.54. При яких значеннях параметра а різниця коренів рівняння 2х² -(а + 1)х + а - 1 = 0 дорівнює їхньому добутку?

1.55. При яких значеннях параметра а нерівність (а + 4) х² - 2ах + 2а - 6 < 0 виконується при всіх значеннях х?

1.56. При яких значеннях параметра а нерівність (а² - 1) х² + + 2 (а - 1) х + 2 > 0 виконується для будь-якого значення х?

1.57. При яких значеннях параметра а нерівність (а - 3) х² - 2ах + + 3а - 6 > 0 виконується при всіх значеннях х?

1.58. При яких значеннях параметра а один із коренів рівняння 3ах² - 2х - За - 2 = 0 більший за 1, а другий менший від 1?

1.59. При яких значеннях параметра а корені х₁ і х₂ рівняння 2х² - 2 (2а + 1) х + а (а + 1) = 0 задовольняють умову х₁< а < х₂?

1.60. При яких значеннях параметра а корені рівняння х² - 2ах + + а² - а = 0 належать проміжку [-2; б]?

1.61. При яких значеннях параметра а нерівність ах² - 4х + 4а > 0 виконується для всіх додатних значень х?

1.62. При яких значеннях параметра а нерівність х² + ах - 1а < 0 виконується для всіх х із проміжку (1; 2)?

1.63. При яких значеннях параметра а всі розв’язки нерівності ах² - 2х - а (а² + 2) < 0 задовольняють нерівність х²≤ 9?

1.64. При яких значеннях параметра а нерівність виконується для будь-якого значення х?

1.65. Знайдіть усі значення параметра q такі, що для будь-якого значення параметра р рівняння х² + рх + q = 0 має розв’язок.

1.66. Розв’яжіть рівняння:

1.67. Розв’яжіть рівняння:

Властивості функцій

1.68. Знайдіть область визначення функції:

1.69. Знайдіть область визначення функції:

1.70. Знайдіть область значень функції:

1.71. Знайдіть область значень функції:

1.72. Знайдіть найбільше і найменше значення функції

1.73. Знайдіть найбільше і найменше значення функції

1.74. Знайдіть:

1.75. Знайдіть:

1.76. Для кожного значення параметра а знайдіть найбільше і найменше значення функції f на множині М:

1) f(х) = х² + 4х + 5а, М = [-1; 1];

2) f(х) = х² - 4х, М = [-1; а], де а > -1.

1.77. Для кожного значення параметра а знайдіть найбільше і найменше значення функції f на множині М:

1) f(х) = -х² + 6х - 2а, М = [0; 4];

2) f(х) = 2х - х², М = [а; 2], де а < 2.

1.78. Розв’яжіть рівняння

1.79. Розв’яжіть рівняння

1.80. Розв’яжіть рівняння

1.81. Розв’яжіть рівняння

1.82. Дослідіть на парність функцію:

1.83. Дослідіть на парність функцію:

1.84. Відомо, що D(f) = R. Доведіть, що функції у = f(x) + f(-х) і у = f(x) ⋅ f(-x) є парними, а функція у = f(x) - f(-x) — непарною.

1.85. Побудуйте графік функції:

1.86. Побудуйте графік функції:

1.87. На рисунку 1.1 зображено графік квадратичної функції у = ах² + bх + с. Визначте знаки коефіцієнтів а, b і с.

Рис 1.1

1.88. На рисунку 1.2 зображено графік квадратичної функції у = ах² + bх + с. Визначте знаки коефіцієнтів а, b і с.

Рис 1.2

1.89. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння | х² - 6 | х | + 8 | = а?

1.90. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння |х² + 2 | х — 2 | -4| = а?

1.91. Чи є правильним твердження, що на рисунку 1.3 зображено параболу у = ах² + bх + с і пряму у = bх + с?

Рис 1.3

1.92. Знайдіть найбільше і найменше значення функції

Рівняння і нерівності з двома змінними

1.93. Розв’яжіть рівняння:

1.94. Розв’яжіть рівняння:

1.95. Побудуйте графік рівняння:

1.96. Побудуйте графік рівняння:

1.97. Побудуйте графік нерівності:

1.98. Побудуйте графік нерівності:

1.99. Зобразіть на координатній площині ху множину розв’язків системи нерівностей:

1.100. Зобразіть на координатній площині ху множину розв’язків системи нерівностей:

1.101. Побудуйте графік нерівності:

1.102. Побудуйте графік нерівності:

Метод математичної індукції

1.103. Доведіть, що

1.104. Доведіть, що

1.105. Доведіть, що

1.106. Доведіть, що 5n⁺² + 6²ⁿ⁺¹ : 31, де n ∈ ℕ.

1.107. Доведіть, що 7 ∙ 5²ⁿ + 12 ∙ 6ⁿ : 19, де n ∈ ℕ.

1.108. Доведіть, що 14 ∙ 3ⁿ + 9 ∙ 7²ⁿ : 23, де n ∈ ℕ.

1.109. Доведіть нерівність 2ⁿ > 2ⁿ, де n ∈ ℕ, n ≥ 3.

1.110. Доведіть нерівність 2^{n + 4} > (n + 4)², де n ∈ ℕ.

1.111. Доведіть нерівність 3ⁿ > n³, де n ∈ ℕ, n ≥ 4.