Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА ІІ ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ 3 КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ ПРОСТОРІ

§15. СИМЕТРІЯ ВІДНОСНО ТОЧКИ ТА СИМЕТРІЯ ВІДНОСНО ПЛОЩИНИ

Як і на площині, у просторі також розглядають різні види руху (переміщення). У цьому параграфі розглянемо симетрію відносно точки у просторі та ознайомимося з новим видом симетрії - симетрією відносно площини.

Мал. 15.1

1. Симетрія відносно точки

Як і на площині, у просторі:

дві точки А і А' називають симетричними відносно точки О, якщо О — середина відрізка АА' (мал. 15.1).

Симетрію відносно точки називають ще центральною симетрією, а точку О - центром симетрії.

Довести, що точкою, яка симетрична точці А(х; у; z) відносно початку координат, є точка А’(-х; -у; -z).

Доведення. Оскільки

то точки А(х; у; z) і А(-х; -у; -z) симетричні відносно точки (0; 0; 0), тобто відносно початку координат.

Задача 2. Точки В(-5; 7; z) і В'(х; у; 0) симетричні відносно точки 0(1; -2; 3). Знайти х, у і z.

Розв’язання. Точка О - середина відрізка ВВ'. Тому за формулами середини відрізка маємо:

Отже, х = 7, у = -11, 2 = 6.

Відповідь. х = 7, у = -11, 2 = 6.

2. Симетрія відносно площини

Дві точки А і А' називають симетричними відносно площини а, якщо площина а проходить через середину відрізка АВ перпендикулярно до нього (мал. 15.2).

Симетрію відносно площини називають ще дзеркальною симетрією, а площину а називають площиною симетрії.

Довести, що точкою, яка симетрична точці А(х; у; z) відносно площини ху, є точка А(х; у; -z).

Доведення. 1) Якщо точка А належить площині ху, то її апліката дорівнює нулю, тоді точка А(х; у; 0) симетрична сама собі відносно площини ху. Оскільки при 2 = 0 маємо А'(х; у; 0), то у випадку, коли точка А належить площині ху, твердження задачі доведено. 2) Якщо точка А не належить площині ху, то точка М - середина відрізка АА' - має координати

Точка М(х; у; 0) належить площині ху. Оскільки відповідні абсциси й ординати точок А і А' рівні між собою, то відрізок АА' перпендикулярний до площини ху. Таким чином, площина ху проходить через середину відрізка АА' перпендикулярно до нього, а отже, точки А і А - симетричні відносно площини ху.

Міркуючи аналогічно, можна довести, що точкою, симетричною точці А(х; у, z) відносно площини xz, є точка А"(х; -у; z), а відносно площини yz - точка А"(-х; у; z).

Мал. 15.2

Які дві точки А і А' називають симетричними відносно точки О? Яка точка є симетричною точці А(х; у; z) відносно початку координат? Які дві точки А і А називають симетричними відносно площини a? Яка точка є симетричною точці А(х; у, z) відносно площини ху, яка - відносно площини xz і яка - відносно площини yz?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

15.1. Чи симетричні точки А і А' відносно початку координат, якщо:

1) А(-2; 3; 7), А'(2; -3; 7);   2) А(4; 0; -1), А'(-4; 0; 1)?

15.2. Чи симетричні точки В і В' відносно початку координат, якщо:

1) В(-2; 1; -8), В'(2; -1; 8);   2) В(0; -1; 4), В'(0; -1; -4)?

15.3. Запишіть координати точок, що симетричні відносно початку координат точкам:

1) С(-3; 2; 0); 2) D(-4; 2; -3).

15.4. Запишіть координати точок, що симетричні відносно початку координат точкам: 1) М(4; 0; -2); 2) N(1; -3; -5).

15.5. Які координати має точка О, відносно якої симетричні точки B(2; -7; 8) і В'(0; 1; -10)?

15.6. Чи симетричні точки А(-1; 2; 9) і А'(3; 0; -1) відносно точки 0(1; 1; 5)?

15.7. Точки М(х; 2; -7) і М'(2; y; z) симетричні відносно точки 0(1; 0; -1). Знайдіть х, у, z.

15.8. Точки С(-1; у, 2) і С'(х; 4; z) симетричні відносно точки 0(-2; 1; 0). Знайдіть х, у, z.

15.9. Чи симетричні точки А(2; -3; 7) і А'(-2; 3; 7) відносно площини xz?

15.10. Чи симетричні точки B(2; -1; 1) і В'(2; -1; -1) відносно площини ху?

15.11. Запишіть координати точок, симетричних точці Б(4; -2; 1) відносно площини: 1) ху; 2) yz.

15.12. Запишіть координати точок, симетричних точці С(-1; 3; -5) відносно площини: 1) yz; 2) xz.

3

15.13. Дано точки С(2; -7; 4) і D(0; 1; -8). Запишіть координати точки, симетричної середині відрізка CD відносно:

1) початку координат;   2) площини xz.

15.14. Дано точки А(4; 0; -5) і B(2; -6; 1). Запишіть координати точки, симетричної середині відрізка АВ відносно:

1) початку координат;   2) площині ху.

15.15. Точки B(2; у, z) і B'(x; -3; 8) симетричні відносно площини yz. Знайдіть х, у, z.

15.16. Точки С(х; у; -2) і С'(2; 4; z) симетричні відносно площини xz. Знайдіть х, у, z.

4

15.17. Точки А(2; -1; 7) і А'(2; 3; 7) симетричні відносно площини а. Яким є взаємне розміщення площини а і осі:

1) абсцис;   2) ординат;   3) аплікат?

15.18. Точки К(-3; 2; 4) і К'(-3; 2; 8) симетричні відносно площини β. Яким є взаємне розміщення площини β і осі:

1) абсцис;   2) ординат;   3) аплікат?

Життєва математика

15.19. Товарний потяг рухається зі швидкістю 54 км/год. Діаметр його колеса дорівнює 1,2 м. Скільки обертів за хвилину робить колесо потяга? (Для спрощення обчислень вважайте, що ≈ 3).