Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ І ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 6 Задачі з параметрами

Фахівцям часто доводиться мати справу з рівняннями, які, крім невідо­мих змінних і відомих чисел, містять і параметри. Параметр у рівнянні чи нерівності — це стала, значення якої при потребі можна змінювати. Рівняння може мати кілька змінних і кілька параметрів, які позначаються різними буквами, але в цьому параграфі розглянемо задачі, які містять одну змінну і один параметр.

Наприклад, у рівнянні (а² - 4)х = а² + а - 2 буквами позначено: х — змінну, а — параметр.

Розв’язати рівняння (нерівність чи систему) з параметром — означає для кожного значення параметра вказати, чи має рівняння (нерівність чи система) розв’язки, скільки їх і які вони.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння (а² - 4)х = а² + а - 2.

Розв’язання. Задано лінійне рівняння відносно змінної х. Йому рівно­сильне рівняння (а - 2)(а + 2)х = (а - 1)(а + 2).

Якщо (а - 2)(а + 2) ≠ 0, тобто а ≠ 2 і а ≠ - 2, то рівняння має єдиний корінь х = =.

Якщо а = 2, то рівняння має вигляд 0х = 4, а тому коренів не має.

Якщо а = -2, то рівняння має вигляд 0х = 0, розв’язком якого є будь-яке число.

Відповідь. Якщо а ∈ (-∞; -2) ⋃ (-2; 2) ⋃ (2; +∞), то х = ; якщо а = -2,то коренем рівняння є кожне дійсне число; якщо а = 2, то рівняння коре­нів не має.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння ах² + 4х + а + 3 = 0.

Розв’язання. Якщо а = 0, то рівняння має вигляд 4х + 3 = 0 і має єдиний корінь х= - = - 0,75.

Якщо а ≠ 0, то ах² + 4х + а + 3 = 0 — квадратне рівняння відносно змінної х. Знайдемо його дискримінант.

D = 16 - 4 · а · (а + 3) = -4а² - 12а + 16.

Дане рівняння має корені х_1,2 =, якщо D ≥ 0, тобто якщо -4а² - 12а + 16 ≥ 0, а² + За - 4 ≤ 0.

Множина розв’язків останньої нерівності, за умови а ≠ 0, [-4; 0) ⋃ (0; 1].

Розглянемо два випадки. Якщо D = 0, то х =. У цьому випадку приа = -4 х = 0,5, а при а = 1 х = -2.

Якщо D> 0, тобто а ∈ (-4; 0) ⋃ (0; 1), рівняння має два корені

Відповідь. Якщо а (- ∞; - 4)⋃(1; +∞), то дійсних коренів немає; якщо а = -4, то х = 0,5; якщо а = 0, то х = -0,75; якщо а = 1, то х = -2; якщо а(-4; 0) і (0; 1), то

Розглядають і текстові задачі з параметром.

Приклад 3. Периметр прямокутника дорівнює 46, а діагональ — d. Знайдіть довжини сторін прямокутника. Яким може бути значення d?

Розв’язання. Нехай одна сторона прямо­кутника має довжину х. Тоді друга дорів­нює 23-х (мал. 62). За теоремою Піфагора, х² + (23 - х)² = d², звідси 2х² - 46х + 23² - d² = 0.

Отримали рівняння з параметром сі. Розв’яжемо його відносно х:

Мал. 62

Щоб розв’язок був числом дійсним і додатним, необхідно, щоб викону­валася умова 2d² - 23² ≥ 0, тобто d ≥ 23, d ≥ 11,5. Оскільки сторонатрикутника менша від суми двох інших його сторін, то сі < 23. Отже, 11,5 ≤ d<23.

Відповідь. Якщо 11,5 ≤ d < 23, то сторони прямокутника дорівнюють0,5(23 ±).

Якщо вимагається визначити кіль­кість коренів рівняння при певних зна­ченнях параметра, то доцільно вико­ристовувати графічний метод.

Приклад 4. При якому значенні па­раметра а рівняння |х² - 6|х| + 5| = а має найбільшу кількість коренів? Чи може кількість коренів бути непарною?

Розв’язання. Побудуємо в одній сис­темі координат графіки функцій у = |х² - 6|х| + 6| і у = а (мал. 63).

Бачимо, що рівняння може мати:

1) 2 корені (пряма р₁), якщо а > 5;

2) 3 корені (пряма р₂), якщо а = 5;

3) 4 корені (пряма р₃), якщо 4 < а < 5;

4) 6 коренів (пряма р₄), якщо а = 4;

5) 8 коренів (пряма р₅), якщо 0 < а < 4;

6) 4 корені (пряма р₆), якщо а = 0;

7) 0 коренів (пряма р₇), якщо а < 0.

Відповідь. При 0 < а < 4 рівняння має найбільшу кількість коренів: 8. При а = 5 рівняння має непарну кількість коренів: 3.

Мал. 63

Приклад 5. Розв’яжіть нерівність 3(2а - х) < а(х + 1).

Розв’язання. Розкриємо дужки і перенесемо всі члени нерівності в одну частину: 6а — 3х - ах - а < 0 або (3 + а)х > 5а.

Якщо 3 + а = 0, то нерівність має вигляд 0х > -15. Вона правильна при будь-якому значенні х.

Якщо 3 + а > 0, тобто а > -3, то

Якщо 3 + а < 0, тобто а < -3, то

Відповідь. Якщо а = -3, х ∈ R; якщо а > -3, то x > ; якщо а < -З,то х <.

Приклад 6. Розв’яжіть систему нерівностей

Розв’язання. Множина розв’язків першої нерівності [-2; 4] (розв’яжіть самостійно). Щоб розв’язати задану систему нерівностей, потрібно розглянути різні випадки розміщення точки х = а на числовій прямій відносно відрізка [-2; 4].

Якщо а ≤ - 2 (мал. 64, а), то система розв’язків не має.

Якщо а (-2; 4], то х[-2; а)(мал. 64, б).

Якщо а > 4, то х [-2; 4] (мал. 64, в).

Відповідь. Якщо а (- ∞; -2], то х0; якщо а(-2; 4], то х[-2; а); якщо а (4; +∞), то x [-2; 4].

Мал. 64

Хочете знати ще більше?

Задача. При яких значеннях параметра с корені рівняння х² + (с-1)х + с + 2 = 0 на­лежать проміжку (-4; 2)?

Розв’язання. Щоб дане рівняння мало дійсні корені, необхідно, щоб його дискримінант був невід’ємним, тобто (с - 1)² - 4(с + 2) > 0. Щоб нулі функції f(x) = х² + (с - 1)х + с + 2 нале­жали проміжку (-4; 2), треба, щоб значення f(-4) і f(2) були додатними, а абсциса вершини параболи лежала між кінцями даного проміжку (мал. 65). Отже, шукані значення параметра с мають задовольняти систему нерівностей:

Мал. 65

Відповідь.

Перевірте себе

1. Яке рівняння називають рівнянням з параметром?

2. Наведіть приклад рівняння з параметром.

3. Наведіть приклад нерівності з параметром.

4. Що означає розв’язати рівняння (нерівність) з параметром?

5. Як розв’язують задачі з параметром, у яких вимагається визначити кількість чи наявність коренів?

Виконаємо разом

1. Знайдіть усі значення параметра а, при яких нерівність х² - 2(а² - 2)х + а⁴ > 0 правильна для всіх x ∈ R.

Розв’язання. Перший коефіцієнт квадратного тричлена х² - 2(а² - 2)х + а⁴ додатний, тому множина розв’язків нерівності залежить тільки від знака дискримінанта тричлена.

=(a² -2)²- a⁴ = -4a² + 4.

Квадратний тричлен набуває тільки додатних значень, коли графік функції не перетинає вісь абсцис, тобто при D < 0. Тому потрібно розв’язати нерівність -4а² + 4 < 0, звідси а² > 1, тобто а ∈ (- ∞; - 1) ⋃ (1; +∞).

Отже, якщо а (-∞; -1) ⋃ (1; +∞), то множиною розв’язків нерівності х² - 2(а² - 2)х + а⁴ > 0 є вся числова пряма.

Відповідь. (-∞; -1) ⋃ (1; +∞).

2. Розв’яжіть рівняння |х + 1| + |х - 3| = а.

Розв’язання. Спосіб 1. Розв’яжемо дане рівняння графічно. Побудуємо графік функ­ції у = |х + 1| + |х-3|.

Якщо х < - 1, то у = -х - 1 - х + 3 = -2х + 2.

Якщо -1 ≤ х ≤ 3, то у = х + 1- х + 3 = 4.

Якщо х > 3, то у = х + 1 + х - 3 = 2х - 2.

Графік функції зображено на малюнку 66.

З малюнка видно, що при а < 4 рівняння розв’язків не має, при а = 4 — рівняння має безліч розв’язків х [-1; 3]. При а > 4 рівняння ма­тиме два розв’язки, які можна знайти, розв’язавши рівняння -2х + 2 = а і 2х - 2 = а, звідси х = і х =.

Отже, якщо а < 4, то х0; якщо а = 4, то х [-1; 3] ; якщо а > 4, то

Мал. 66

Мал. 67

Спосіб 2. Дане рівняння |х +1| + |х - 3| = а мож­на розв’язати, користуючись координатною прямою. Ліва частина рівняння — це сума від­станей від точки з координатою х до точок -1 і 3 (мал. 67). З малюнка видно, що коли х [-1; 3], то сума |х + 1| + |х -3| дорівнює 4. Тому при а = 4

рівняння має безліч розв’язків х [-1; 3]. При а < 4 рівняння розв’язківне має. При а > 4 рівняння має два розв’язки: х₁ = -1 - k, х₂ = 3 + k,де к =, бо з малюнка видно, що а = 2k + 4.

Відповідь. Якщо а < 4, то х; якщо а = 4, то х [-1; 3]; якщо a > 4,то

Можна розв’язати дане рівняння і методом інтервалів. Спробуйте зро­бити це самостійно.

«Усе пізнаване має чис­ло. Бо без нього неможли­во нічого ні зрозуміти, ні пізнати».

Піфагор

Виконайте усно

309. Розв’яжіть рівняння:

а) |х - 2| = а;

б) |х - а| = 2;

в) |х - а| = -2.

310. Розв’яжіть нерівність:

а) 2х < а;

б) ах < 1;

в) < 2.

311. При яких значеннях параметра b рівняння не має розв’язків:

а) |х - 3| = b + 2;

б) x - = 2b;

в) х² - х + b = 0?

312. При яких значеннях параметра а число 2 є коренем рівняння:

а) х² - 2х + а = 0;

б) х² - 2а + 4 = 0;

в) ах² + 2х + 4 = 0?

313. При яких значеннях параметра m рівняння mх² + х + m = 0:

а) має єдиний розв’язок;

б) не має розв’язків?

Рівень А

314. Розв’яжіть рівняння:

а) (а - 1)х = а² - 1;

б) (а² - 9)х = а² - а - 6;

в) (а² - За + 2)х = 8 - 2а - а².

315. Розв’яжіть нерівність:

а) (а - 2)х < а² - 4;

б) (а² - 9)х > а² + 2а - 3;

в) (а² - 2а)х < 8 - 2а - а².

316. Розв’яжіть рівняння:

а) х² - ах - 2а² = 0;

б) ах² - (а + 2)х + 2 = 0;

в) х² - 2а + а² - 1 = 0.

317. Розв’яжіть систему нерівностей:

318. Розв’яжіть нерівність:

319. При якому значенні параметра с рівняння

має тільки один корінь?

320. При якому значенні параметра m рівняння m(3х - m) = 3х - 1 має єдиний додатний корінь?

321. При якому значенні параметра а нерівність виконується для всіх дійс­них значень х:

а) х² - (а - 2)х + 4 > 0;

б) х² - 2х + а² > 0?

322. При яких значеннях параметра b функція у = х²+ 2(6 - 1)х + 4- 6 - 6² набуває додатних значень для всіх дійсних значень х?

323. Для кожного значення параметра а визначте кількість коренів рівняння:

а) х² - 2х - 3 =а;

б) 5 + 4х - х² = а;

в) ||х - 2| - 3| = а;

г) |3 - |х|| = а.

Рівень Б

324. При якому значенні параметра b рівняння х² - (2b - 1)х + b² — b - 2 = 0 має: а) два додатні корені; б) корені різного знака?

325. При якому значенні параметра р рівняння х⁴ - (2р - 1)х² + р² - р = 0 має тільки два корені?

326. При якому значенні параметра а корені рівняннях² - (За + 1)х + 2а(а + 1) = 0 належать відрізку [-1; 6]?

327. При якому значенні параметра а розв’язком нерівності |х - 2а| ≤ а + 1 є відрізок [1; 7]?

328. Знайдіть область визначення функції

329. При якому значенні т сума квадратів коренів рівняннях² + (m - 2)х - m + 1 = 0 є найменшою? Знайдіть ці корені.

330. При якому значенні а функція у = 2ах² - (а² + 7а - 4)х + 5 досягає найбільшого значення в точці х = 1?

331. При якому значенні а найменше значення функції у - х² - 2(а + 2)х + а² + 4 дорівнює 5 - а²?

332. Скільки спільних точок мають графіки функцій залежно від значень параметра а:

333. Знайдіть усі значення параметра т, при якому:

а) найменше значення функції у = х² - 2х + m дорівнює найбільшому значенню функції у = -|х| + 2 - 2m;

б) найбільше значення функції у = -х² - 2m + 1 дорівнює найменшому значенню функції у = |х - 2| + |х - 4| + m.

334. Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь:

має безліч розв’язків;

не має розв’язків.

335. Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь має єдиний розв’язок:

336. На малюнку 68 зображено графік рівняння |х|+ |y| = 2. Користуючись малюнком, знайдіть усі значення параметра а, при якому система рівнянь:

має єдиний розв’язок;

має єдиний розв’язок;

має чотири розв’язки;

має п’ять розв’язків.

Мал. 68

337. Знайдіть найбільше ціле значення пара­метра р, при якому система рівнянь

має два розв’язки.

Рівень В

338. Розв’яжіть рівняння

339. При якому значенні параметра а рівняння х⁴ - 3ах² + 3а - а² = 0 має три корені?

340. Відкрита задача. При якому значенні параметра а рівняння

має … коренів? Знайдіть ці корені.

341. При якому значенні параметра а рівняння

має один корінь?

342. При якому значенні параметра а має рівно чотири корені система рівнянь

343. Для кожного значення параметра а розв’яжіть систему рівнянь

344. При яких значеннях а нерівність не має розв’язків:

а) (а - 1)х² + (а - 2)х + а + 1 < 0;

б) (а + 1)х² - 2(а - 1)х + 3(а - 1) > 0?

345. Знайдіть усі значення параметра р, при якому подвійна нерівність

виконується для всіх х R.

346. Доведіть, що квадратний тричлен ах² + bx + с = f(х) має дійсні корені, кожен із яких більший від заданого числа m тоді і тільки тоді, коли:

347. При яких значеннях параметра а корені рівняння ах² — 4х + 3а + 1 = 0 додатні?

348. Для того щоб число р містилося між дійсними коренями квадратного тричлена ах² + bx + с = f(x), необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова af(p) < 0. Доведіть.

349. При яких значеннях параметра а має корені різного знака рівняння (а + 1)х² - 2(а - 1)х + а - 4 = 0?

350. Інвестор має можливість розмістити капітал у 10 млн грн у банк під 40 % річних або вкласти у виробництво з очікуваною ефективністю у розмірі 150 %. Втрати виробництва (у, грн) описуються квадратич­ною залежністю у = 0,05х², де х — розмір вкладеного капіталу (грн). Прибуток обкладається податком у р %. При яких значеннях р вклад у виробництво буде ефективнішим, ніж просте розміщення капіталу в банку?

Вправи для повторення

351. Розв’яжіть рівняння:

а) х³ + 2х² + 3х + 6 = 0;

б) х² + 2|х - 1| - 6 = 0.

352. Розв’яжіть сукупність нерівностей

353. Знайдіть А ∩ В, А ⋃ В, А \ В, якщо А = [-2; 6], В = (-4; 5).

354. Унаслідок скидання стічних вод у Київське водосховище спостерігалася загибель риби на площі 0,5 га. Середня маса однієї дорослої рибини: лящ — 1,2 кг; судак — 1,9 кг; окунь — 0,25 кг. Установіть прямі збит­ки рибного господарства, якщо концентрація загиблої риби становить: лящ — 0,1 шт./м²; судак — 0,05 шт./м²; окунь — 2 шт./м². Прямий зби­ток визначається за формулою N = РSМ, де: N — величина збитків у на­туральному вираженні, кг; Р — середня кількість загиблої риби, шт./м²; S — площа негативного впливу пошкодження, м²; М — середня маса дорослої рибини, кг.