Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§ 12 Степені з раціональними показниками

Повторимо і дещо розширимо відомості про степені.

1. Степенем числа а з натуральним показником n> 1 називають до­буток n множників, кожен з яких дорівнює а, тобто

2. Степенем числа а з показником 1 називають число а.

3. Будь-яке відмінне від нуля число в степені 0 дорівнює 1, тобто якщо а ≠ 0, то а⁰ = 1.

4. Якщо n — довільне натуральне число, а а ≠ 0 , то а^-n = .

Ці означення повністю розкривають зміст поняття степеня з цілим показником.

Наприклад,

якщо х ≠ 0.

Степінь аn має зміст при кожному цілому n і дійсному а ≠ 0. А, напри­клад, вирази 0°, 0^-1, 0^-2 і т. п. не мають змісту, це не числа.

Розв’язування деяких прикладних задач потребує використання степенів з дробовими показниками.

Задача. У банк поклали 20 000 грн під 15 складних відсотків. Яку суму грошей отримає вкладник через 3 роки і 6 місяців?

Розв’язання. Використаємо формулу складних відсотків:

де Р — початкова сума грошей; r — кількість відсотків, яку банк нарахо­вує за рік; n — кількість років, упродовж яких гроші були в банку.

За умовою задачі Р = 20 000 грн, r = 15, n = 3,5, тому

Дотепер ви не вміли обчислювати значення таких виразів, бо не роз­глядали степені з дробовим показником. Далі розглядатимемо степені вигляду а, де mZ, n N, а > 0.

Степенем числа а з показником називають корінь n-го степеня з числа

Для степенів додатних чисел а, b з дробовими (раціональними) показ­никами ris справджуються такі самі властивості, як і для степенів із цілими показниками:

Ці властивості випливають із доведених на с. 80 властивостей коренів n-го степеня. Для прикладу доведемо першу властивість.

Нехай r = , s = . Зведемо ці дроби до спільного знаменника:

Тоді

Таке трактування степеня з дробовим показником відповідає введеному раніше поняттю степеня з цілим показником. Тому їх можна об’єднати і говорити про степені з раціональними показниками.

Обчислюючи степені з раціональними показниками, можна користуватися тотожностями

(доведіть їх самостійно).

Наприклад,

При будь-яких додатних основах значення степенів із дробовими по­казниками (здебільшого наближені) можна обчислювати, користуючись калькулятором.

Зверніть увагу! Степені з від’ємними основами і дробовими показни­ками не розглядаються.

Приклади. Обчисліть значення:

а) 0,2^-3;

б) 5^0,41.

Розв’язання.

З поданих вище властивостей 1)-5) випливає, що вирази з дробовими показниками степенів і додатними основами можна перетворювати, як і вирази з цілими показниками. Наприклад,

Хочете знати ще більше?

Чому розглядають тільки такі степені з дробовими показниками, основи яких — додатні числа? Тобто чому рівність

правильна тільки при а > 0? Бо якщо цю рівність поширили б і на від’ємні значення а, то мали б чимало неузгодженостей.

Розглянемо для прикладу вирази і . Їх основи і показники степенів рівні, тому й значення виразів мали б бути рівними. А згідно з останньою рівністю

Ось чому степені з дробовими показниками розглядають тільки за умови, що їх основи — додатні числа. І значення степенів з дробовими показни­ками — числа додатні.

Наприклад, вирази 0^-0,5, (, (-)¹’³ не мають змісту. Це записи, які не позначають ніяких чисел.

Перевірте себе

1. Що таке n-й степінь числа а?

2. Що розуміють під степенем числа з цілим від’ємним показником?

3. Чи можна підносити число 0 до степеня з цілим від’ємним показ­ником?

4. Що розуміють під степенем числа з дробовим показником?

5. Які властивості мають степені додатних чисел із раціональними по­казниками?

Виконаємо разом

1. Обчисліть:

Розв’язання, а) З^0,5 · 9^0,75 = З^0,5 · З^2·0,75 = З^0,5 · З^1,5 = З² = 9;

Відповідь, а) 9; б) 48.

2. Розв’яжіть рівняння:

а) 4 = ;

б) += 3.

Розв’язання, а) ОДЗ: (0; +∞). Піднесемо обидві частини рівняння до степеня 7. Маємо: (⁾⁷ =4⁷ або х² = 2¹⁴. Корені цього рівняння х₁ = -2⁷,х₂ = 2⁷ = 128. Від’ємний корінь відкидаємо.

б)ОДЗ: (0; + ∞). Нехай =y, тоді =y². Маємо рівняння: у² + 2у - 3 = 0.

Його корені у₁ = -3, у₂ = 1. Від’ємний корінь відкидаємо. А якщо = 1, то х = 1.

Зверніть увагу! Якби рівняння було записане у вигляді

то воно мало б іншу ОДЗ і ще один корінь: х = -27. Відповідь. а) 128; б) 1.

3. Спростіть вираз

Розв’язання. Зведемо дроби до спільного знаменника і виконаємо дії:

Виконайте усно

Обчисліть (613-616).

613.

614.

615.

616.

617. Знайдіть значення виразу:

а) х · x^-2, якщо х = -4;

б) а · а^0,5, якщо а = 9;

якщо с - 5.

618. Які з виразів не мають змісту:

619. Яке з чисел є найбільшим, а яке — найменшим:

Рівень А

Спростіть вираз (620-623).

620.

621.

622.

623.

Обчисліть, не користуючись калькулятором (624-627).

624.

625.

626.

627.

628. Яке з чисел більше:

629. Обчисліть за допомогою калькулятора:

а) 3,2^0,2;

б) 0,52^-1,3;

в) 1З^2,7 · 2,5;

г) 3,5^-4 · 6^2,3.

630. Запишіть за допомогою коренів вираз:

631. Запишіть без знаків кореня вираз:

Замініть вирази з коренями тотожними їм степенями з дробовими показ­никами і виконайте відповідні дії (632-633).

632.

633.

Спростіть вираз (634-637).

634.

635.

636.

637.

Розв’яжіть рівняння (638-640).

638.

639.

640.

Рівень Б

641. Розкладіть на множники:

642. Скоротіть дріб:

Мал. 83

643. V, S і d — об’єм, площа поверхні і діагональ куба (мал. 83). Виразіть кожну з цих величин через кожну з інших.

644. Запишіть за допомогою коренів вираз:

645. Спростіть вираз:

646. Подайте у вигляді степеня:

Обчисліть (647-649).

647.

648.

649.

650. При тривалості теплового впливу 30 с і щільності теплового потоку 12 кВт/м² відбувається загоряння дерев’яних конструкцій; при 10,5 кВт/м² — обгоряє фарба на пофарбованих металевих конструкціях, обвуглюються дерев’яні конструкції. Людина відчуває сильний біль, коли температура верхнього шару шкірного покриву (~ 0,1 мм) підвищується до 45 °С. Час досягнення «порога болю» (с), пов’язанийзі щільністю теплового потоку q (кВт/м²) співвідношенням

За допомогою калькулятора встановіть час досягнення «порога болю» в умовах: а) загоряння дерев’яних конструкцій; б) обвуглення дерев’яних конструкцій.

Розв’яжіть рівняння (651-652).

651.

652.

Розв’яжіть систему рівнянь (653-655).

653.

654.

655.

Спростіть вираз (656-657).

656.

657.

Рівень В

658. Знайдіть область визначення, область значень і нулі функції:

Розв’яжіть рівняння (659-660).

659.

660.

Спростіть вираз (661-662).

661.

662.

663. Доведіть тотожність:

664. Знайдіть область визначення і спростіть вираз:

665. Знайдіть значення виразу + , якщо

Вправи для повторення

666. Узагальнюючим показником стану повітряного басейну є обсяг забруднювальних речовин у розрахунку на одного мешканця. У 2015 р. в Житомирській області найбільше навантаження від стаціонарних джерел забруднення на душу населення (у кг/особу) спостерігалося в Бердичівському — 41,6 кг/особу, Попільнянському — 28,5 кг/особу, Новоград-Волинському — 15,4 кг/особу районах області при середньому по області 7,2 кг/особу. Установіть, на скільки відсотків обсяг забруднювальних речовин у кожному з наведених районів перевищував середній по області. Дізнайтеся про обсяг забруднювальних речовин у вашому районі.

667. Зобразіть за допомогою кругів Ейлера співвідношення між поняттями «функції», «парні функції», «непарні функції».

668. Знайдіть значення виразу:

669. Побудуйте графік функції:

а) у = х;

б) у = х²;

в) у = х³.