Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

25. Формули подвійного, потрійного та половинного аргументів

Формули, які виражають тригонометричні функції кута 2а через тригонометричні функції кута а, називають формулами подвійного аргументу.

У формулах додавання

покладемо β = а. Отримаємо:

cos 2а = cos² а - sin² а

sin 2а = 2 sin а cos а

Ці формули називають відповідно формулами косинуса, синуса й тангенса подвійного аргументу.

Оскільки cos² а = 1 - sin² а і sin² а = 1 - cos² а, то з формули cos 2а = cos² а - sin² а отримуємо ще дві формули:

cos 2а = 1 — 2 sin² а

cos 2а = 2 cos² а - 1

Інколи ці формули зручно використовувати в такому вигляді:

1 - cos 2а = 2 sin² а

1 + cos 2а = 2 cos² а

або в такому вигляді:

Дві останні формули називають формулами пониження степеня.

ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз:

Розв’язання. 1) Застосовуючи формулу косинуса подвійного аргументу cos 2х = cos² х - sin² х і формулу різниці квадратів, отримуємо:

2) 1 - 8 sin² β cos² β = 1-2- 4sin² β cos² β = 1-2 sin²2β = cos 4β.

3) Оскільки сума аргументів -а і + а дорівнює , то

Тоді

Застосовуючи формулу синуса подвійного аргументу до кута - а, отримуємо:

ПРИКЛАД 2 Подайте у вигляді добутку вираз 1 - sin а.

Розв’язання. За допомогою формули зведення замінимо синус на косинус і застосуємо формулу 1 - cos 2х = 2 sin² х:

ПРИКЛАД 3 Доведіть тотожність

Розв’язання. Помножимо та поділимо ліву частину даної рівності на sin а і багаторазово застосуємо формулу синуса подвійного аргументу:

Формули, які виражають тригонометричні функції аргументу За через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами потрійного аргументу.

Маємо:

sin 3а = sin (2а + а) = sin 2а cos а + cos 2а sin а =

= 2 sin а cos а cos а + (1 - 2 sin² а) sin а =

= 2 sin а cos² а + sin а - 2 sin³ а =

= 2 sin а (1 - sin² а) + sin а - 2 sin³ а =

= 2 sin а - 2 sin³ а + sin а - 2 sin³ а = 3 sin а - 4 sin³ а.

Отже,

sin За = 3 sin а - 4 sin³ а

Цю формулу називають формулою синуса потрійного аргументу.

Знайдемо формулу для cos За:

cos 3а = cos (2а + а) = cos 2а cos а - sin 2а sin а =

= (2 cos² а - 1) cos а - 2 cos а sin а sin а =

= 2 cos³ а - cos а - 2 cos а (1 - cos² а) =

= 2 cos³ а - cos а - 2 cos а + 2 cos³ а = 4 cos³ а - 3 cos а.

Таким чином,

cos 3а = 4 cos³ а - 3 cos а

Цю формулу називають формулою косинуса потрійного аргументу.

ПРИКЛАД 4 Доведіть тотожність

4 cos a cos (60° - a) cos (60° + а) = cos За.

Розв’язання. Застосувавши формули косинуса різниці та косинуса суми, отримуємо:

ПРИКЛАД 5 Доведіть рівність 16 cos 20° cos40° cos 60° cos 80° = 1.

Розв’язання. Маємо: 16 cos20° cos40° cos60° cos80° = 16-

cos 20° cos 40° cos 80° = 8 cos 20° cos 40° cos 80°.

Оскільки 40° = 60° - 20°, 80° = 60° + 20°, то можна застосувати тотожність, доведену в прикладі 4 цього пункту (при а = 20°):

8 cos 20° cos 40° cos 80° = 2 cos (3 ∙ 20°) = 1.

Інше доведення можна отримати, міркуючи так само, як при розв’язуванні прикладу 3:

Формули, які виражають тригонометричні функції кута через тригонометричні функції кута а, називають формулами половинного аргументу.

Замінивши у формулах пониження степеня а на , отримаємо:

Поділимо почленно першу рівність на другу. Отримаємо:

Тепер можна записати:

Ці формули називають відповідно формулами синуса, косинуса й тангенса половинного аргументу.

ПРИКЛАД 6 Знайдіть sin22^o30'.

Розв’язання. Використовуючи формули половинного аргументу, отримуємо:

За допомогою формул подвійного аргументу можна виразити sin а і cos а через tg .

Маємо:

Припустивши, що cos ≠ 0, поділимо чисельник і знаменник отриманого дробу на cos² :

Отже,

Виразимо cos а через tg.

Отримуємо:

Припустивши, що cos ≠ 0, поділимо чисельник і знаменник отриманого дробу на cos² :

Отже,

?

1. Запишіть формули косинуса, синуса й тангенса подвійного аргументу.

2. Запишіть формули пониження степеня.

3. Які формули називають формулами потрійного аргументу?

4. Запишіть формули синуса, косинуса й тангенса половинного аргументу.

ВПРАВИ

25.1.° Спростіть вираз:

25.2. Спростіть вираз:

25.3. Знайдіть sin 2а, якщо sin а = -0,6 і < а < 2.

25.4. Знайдіть sin 2а, якщо

25.5. Знайдіть tg 2а, якщо:

25.6. Знайдіть tg 2а, якщо:

25.7. Подайте у вигляді добутку вираз:

25.8. Подайте у вигляді добутку вираз:

25.9. Доведіть тотожність:

25.10. Спростіть вираз:

25.11. Знайдіть sin a, cos а, tgа, якщо tg .

25.12. Знайдіть cos 2a, якщо tga = -3.

25.13. Дано: cos 2a = -0,6, < a < . Знайдіть sin a і cos a.

25.14. Дано: cosa = , 0 < a < . Знайдіть

25.15. Використовуючи формули половинного кута, знайдіть:

25.16. Спростіть вираз:

25.17. Спростіть вираз:

25.18. Доведіть тотожність:

25.19. Доведіть тотожність:

25.20. Доведіть, що tg 15° + ctg 15° = 4.

25.21. Доведіть, що tg 75° - ctg 75° = 2 .

25.22. Доведіть тотожність:

25.23. Доведіть тотожність

25.24. Дано: Знайдіть sin а.

25.25. Дано: Знайдіть cos .

25.26. Дано: tg = 6. Знайдіть sin a - cos а.

25.27. Обчисліть якщо

25.28. Обчисліть якщо tg а = -2.

5.29. Знайдіть sin 2а, якщо cos а + sin а = .

25.30. Знайдіть sin а, якщо

25.31. Спростіть вираз:

25.32. Спростіть вираз:

25.33. Доведіть, що:

25.34. Доведіть, що:

25.35. Виразіть через cos 4а:

1) sin⁴ а + cos⁴ а;  2) sin⁸ а + cos⁸ а.

25.36. Обчисліть sin⁶ а + cos⁶ а, якщо а = .

25.37. Доведіть тотожність:

25.38. Спростіть вираз:

25.39. Спростіть вираз:

25.40. Спростіть вираз:

25.41. Доведіть, що:

1) 4 sin a sin (60° - а) sin (60° + а) = sin 3а;

2) 16 sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 3;

25.42. Доведіть, що:

1) tg a tg(60°- a) tg(60° + a) = tg3a;

2) tg 20° tg 40° tg 80° = .

25.43. Доведіть тотожність sin За sin^{2 3} a + cos 3a cos³ a = cos³ 2a.

25.44. Доведіть тотожність sin³ 2a cos 6a + cos³ 2a sin 6a = sin 8a.

25.45. Спростіть вираз:

25.46. Спростіть вираз:

25.47. Обчисліть sin 18°.

25.48. Доведіть рівність

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

25.49. Задайте формулою лінійну функцію у = f (х), якщо f(-10) =-2, f (5) = 1.

25.50. Знайдіть нулі функції