Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

24. Формули зведення

Періодичність тригонометричних функцій дає змогу зводити обчислення значень синуса та косинуса до випадку, коли значення аргументу належить проміжку [0; 2], а обчислення значень тангенса та котангенса — до випадку, коли значення аргументу належить проміжку [0; ]. У цьому пункті ми розглянемо формули, які дають можливість у таких обчисленнях обмежитися лише кутами від 0 до .

Кожний кут із проміжку [0; 2] можна подати у вигляді ± а, або ± а, або ± а, де 0 ≤ а ≤ .

Наприклад,

Обчислення синусів і косинусів кутів виду ± а, ± а, ± а можна звести до обчислення синуса або косинуса кута ос. Наприклад:

Застосовуючи формули додавання, аналогічно можна отримати:

Ці шість формул називають формулами зведення для синуса.

Наведені нижче шість формул називають формулами зведення для косинуса:

Ці тотожності можна також отримати, застосувавши формули додавання.

Обчислення тангенсів і котангенсів кутів виду ±а можна звести до обчислення тангенса або котангенса кута а. Наприклад:

Аналогічно можна отримати:

Ці формули називають формулами зведення для тангенса і котангенса.

Проаналізувавши наведені формули зведення, можна виявити закономірності, завдяки яким необов’язково заучувати ці формули.

Для того щоб записати будь-яку з них, можна керуватися такими правилами.

1. У правій частині рівності ставлять той знак, який має ліва частина за умови, що 0 < а < .

2. Якщо в лівій частині формули кут має вигляд ± а або ± а, то синус замінюють на косинус, тангенс — на котангенс і навпаки. Якщо кут має вигляд ± а, то заміни функції не відбувається.

Покажемо, як застосувати ці правила для виразу

Припустивши, що 0 < а < , доходимо висновку: - а є кутом III координатної чверті. Тоді

За першим правилом у правій частині рівності має стояти знак «-».

Оскільки аргумент має вигляд -а, то за другим правилом потрібно замінити синус на косинус.

Отже,

ПРИКЛАД 1 Обчисліть: 1) sin 930°; 2) cos(-480°).

Розв’язання. 1) sin 930° = sin (360° ∙ 2 + 210°) = sin 210° =

= sin (180° + 30°) = -sin 30° = -;

2) cos (-480°) = cos 480° = cos (360° +120°) = cos 120° =

= cos (90° + 30°) = -sin 30° = -.

ПРИКЛАД 2 Обчисліть tg 41° tg 42° tg 43° tg 44° ∙… ∙ tg 49°.

Розв’язання. Маємо: tg49° = ctg41°, tg48° = ctg42° і т. д.

Тоді, об’єднавши попарно множники, які рівновіддалені від кінців добутку, отримаємо чотири добутки, кожний з яких дорівнює 1:

tg 41° tg 49° = tg 42° tg 48° = tg 43° tg 47° = tg 44° tg 46° = 1.

Ще один множник даного добутку, tg 45°, дорівнює 1.

Отже, tg 41° tg 42° tg 43° tg 44° ∙… ∙ tg 49° = 1.

?

Сформулюйте правила, якими можна керуватися під час застосування формул зведення.

ВПРАВИ

24.1. Обчисліть значення тригонометричної функції:

24.2. Обчисліть значення тригонометричної функції:

24.3. Спростіть вираз:

24.4. Доведіть тотожність:

24.5. Обчисліть значення виразу:

1) ctg 5° ctg 15° ctg 25° ∙… ∙ ctg 75° ctg 85°;

2) tg20° + tg40° + tg60° +… + tg 160° + tg 180°;

3) sin0° + sin 1° + sin2° +… + sin359° + sin360°.

24.6. Обчисліть значення виразу:

1) sin 110° + sin 130° + sin 150° +… + sin230° + sin250° + sin270°;

2) tg 10° tg 20° tg 30° ∙… ∙ tg 70° tg 80°;

3) ctg 15° + ctg30° + ctg45° +… + ctg 165°.

24.7. Доведіть тотожність:

24.8.» Знайдіть значення виразу

24.9. Спростіть вираз:

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

24.10. Розв’яжіть рівняння:

24.11. Людина, рухаючись з одного села в друге, спочатку збільшила швидкість на 30 %, а через деякий час зменшила швидкість на 20 %. На скільки відсотків зросла початкова швидкість?