Геометрія 10 клас профільний рівень : збірник задач і контрольних робіт до підручника А.Γ. Мерзляк - 2018

ВПРАВИ

Варіант 1

Паралельність площин

41. Сторони AB і AD паралелограма ABCD паралельні площині α. Доведіть, що пряма АС паралельна площині α.

42. Площини α і β паралельні, А ͼ α, В ͼ α, С ͼ β, D ͼ β, АС || ВD,ВD = 4 см, ABD= 135°. Знайдіть відрізок AD.

43. Медіани AM і СK трикутника ABC паралельні площині α. Через точки А і В проведено паралельні прямі, які перетикають площину α в точках А₁ і Β₁відповідно. Доведіть, що чотирикутник АА₁В₁В — паралелограм.

44. Сторона АВ трикутника ABC лежить у площині α. Площина β, паралельна площині а, перетинає сторони АС і ВС у точках A₁ і відповідно. Знайдіть відрізок А₁В₁, якщо A₁C = 9 cм, AA₁ = 3 см, AB = 8 cм.

45. Площини α і β паралельні. Прямі а і b належать площинам α і β відповідно. Через пряму а проведено площину, яка перетинає площину β по прямій с, паралельній прямій b. Доведіть, що а || b.

46. Площини α і β паралельні. Через точку О, яка знаходиться між цими площинами, проведено дві прямі. Одна з них перетинає площини α і β в точках Α₁ і В₁, а друга — у точках А₂ і В₂ відповідно. Знайдіть кут ОА₁А₂, якщо  Β₁ΟΒ₂= 34°,  ΟΒ₂Β_ι = 78°.

47. Площини α і β паралельні. Із точки М, яка не належить цим площинам і не знаходиться між ними, проведено два промені. Один із них перетинає площини α і β в точках Α₁і B₁другий — у точках А₂ і В₂ відповідно, точка А_г лежить між точками М і Β₁. Знайдіть відрізок ΜΒ₁, якщо МА₁= 9 см, В₁В₂=4 см, А₁А₂= А₁В₁.

48. Основою піраміди SABCD є паралелограм ABCD. Площина, паралельна площині BSC, перетинає ребра SA, SD і DC у точках Μ, N і Е відповідно. Відомо, що SM : МА = 1: 3, DC = 20 см. Знайдіть відрізки DE і ЕС.

49. Побудуйте переріз прямокутного паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ площиною, яка проходить через пряму АС і точку М, що належить ребру Α₁Β₁.

50. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ дорівнює 4 см. На відрізку АС позначили точку М так, що AM : МС = 3 : 1. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через точку М і паралельна площині BC₁D, та обчисліть периметр перерізу.

51. Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁. На його ребрі CD позначили точку М так, що CM : MD = 2 : 3. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, яка проходить через точку М і паралельна площині AB₁C₁ Знайдіть периметр побудованого терерізу, якщо CD = 12,5 см, СC₁ =30 см, AD = 17 см.

52. На ребрах AA₁ ВВ₁ і AD куба ABCDA₁B₁C₁D₁ позначили відповідно точки М, K і Е (рис. 13). Побудуйте переріз куба площиною МKЕ.

Рис. 13

53. Побудуйте переріз прямокутного паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ площиною, яка проходить через точки М, K і N, що належать відповідно ребрам АВ, В₁С₁ і СC₁.

54. На ребрах AB і ВС призми АВСА₁В₁С₁ позначили точки D і Е відповідно. На грані А₁В₁С₁ позначили точку F (рис. 14). Побудуйте переріз призми площиною DEF.

Рис.14

55. Точки А і А₁ лежать по один бік від площини а. Точки В, B_l, С і С₁ лежать у площині а (рис. 15). Відомо, що AB || Α₁Β₁, АС || A₁С₁, АС : А₁С₁ =3 : 1, ВС = 12 см.

Рис. 15

1) Доведіть, що прямі AA₁, ВВ₁ і СС₁ перетинаються в одній точці.

2) Знайдіть відрізок В₁С₁.