Геометрія 10 клас профільний рівень : збірник задач і контрольних робіт до підручника А.Γ. Мерзляк - 2018

ВПРАВИ

Варіант 3

Перпендикулярні площини

135. Точка S рівновіддалена від вершин рівностороннього трикутника ABC, точка О — центр цього трикутника. Доведіть, що площина SOC перпендикулярна до площини ASB.

136. Точка S не належить площині рівностороннього трикутника ABC і рівновіддалена від його вершин. Точка М — середина сторони АС. Доведіть, що площини MSB і ABCперпендикулярні.

137. Рівнобедрені трикутники ABC і AB₁C мають спільну основу АС завдовжки 16 см. Площини цих трикутників перпендикулярні. Знайдіть відстань між точками В і Β₁, якщо АВ = 10 см, AB₁ = 17 см.

138. Площини а і β перпендикулярні та перетинаються по прямій а. Площина γ перетинає площини α і β відповідно і по прямих b і с, які паралельні прямій а. Відстань між прямими b і а дорівнює 8 см, а між прямими с і а — 15 см. Знайдіть відстань між прямою а та площиною γ.

139. Точки А і В лежать у перпендикулярних площинах α і β відповідно. Із точок А і В опустили перпендикуляри АЕ і BF на лінію перетину площин α і β. Знайдіть відстань від точки А до лінії перетину площин α і β, якщо відстань від точки В до цієї лінії дорівнює 9 см, АВ = 25 см, EF= 12 см.

140. Точки М і N лежать у перпендикулярних площинах α і β відповідно. Із точок М і N опущено перпендикуляри ME і NK на лінію перетину площин, MN= 12 см, NK = 12 см, ME = 6 см. Знайдіть кути, які утворює відрізок MN з площинами α і β.

141. Площини α і β перпендикулярні. Точки М і K належать площині β. Пряма b належить площині α і паралельна площині β. Із точок М і K до прямої b проведено перпендикуляри MF і KЕ. Відомо, що KЕ — 20 см, а відстані від точок М і K до лінії перетину площин дорівнюють 9 см і 16 см відповідно. Знайдіть відрізок MF.

142. Прямокутний трикутник ABC ( B = 90°) перегнули по його медіані ВМ так, що площини ВАМ і BMC виявилися перпендикулярними. Знайдіть відстань між точками А і С у новому положенні, якщо АВ = 12 cm, cos ВАМ = 3/5·.

143. Точки М і N — середини сторін АВ і CD квадрата ABCD. Квадрат перегнули по прямій MN так, що площини прямокутників AMND і BCNM виявилися перпендикулярними (рис. 109).

Знайдіть відстань між прямими АС і MN у новому положенні, якщо AD = 4 см.

Рис. 109