Політологічна енциклопедія Книга ІІІ - Карасевич А.О, Шачковська Л.С. 2016

Катастроф теорія

КАТАСТРОФ ТЕОРІЯ аналізує критичні точки (репетиції) потенціальної функції, тобто точки, де не тільки перша похідна функції дорівнює нулю, але й рівні нулю і похідні більш високого порядку. Динаміка розвитку таких точок може бути вивчена за допомогою розкладання потенціальної функції у ряд Тейлора за малих змін вхідних параметрів.

Якщо точки росту не є випадковими, а структурно стабільними, то ці точки існують як центри організації для особливих геометричних структур з низьким рівнем виродженості, з критичними параметрами (високим рівнем катастрофічності) в оточуючих їх областях фазового простору. Якщо потенціальна функція залежить від трьох або меншого числа активних змінних, і п'яти або менше активних параметрів, то в цьому випадку існує всього сім описаних узагальнених структур геометрій біфуркацій, яким можна приписати стандартні форми розкладу у ряд Тейлора, в які можна розкласти критичні точки за допомогою дифеоморфізму (гладкої трансформації, інверсія якої є теж гладкою). Сьогодні ці сім фундаментальних типів відомі під іменами, які їм дав Рене Том.

Теорія катастроф — розділ прикладної математики, галузь теорії біфуркацій, важливий інструмент для дослідження динамічних систем; також — спеціальний розділ загальнішої теорії сингулярностей в геометрії.

Основи теорії катастроф були закладені насамперед у працях американського тополога Гасслера Вітні (англ. Hassler Whitney) у 1955 р., у 1960-х рр. цією теорією зайнявся французький математик і лауреат премії Філдса 1958 р. Рене Том.

Однак популярності ідеї Вітні та Тома набули тільки завдяки декільком публікаціям Крістофера Зімана (англ. Christopher Zeeman) у 1970-х рр.

Створення і розвиток цієї частини математичного аналізу були пов'язані з широкими можливостями наочного аналізу деяких складних явищ, особливо тих, які зустрічаються при описі різних природних та соціальних явищ(веселка, каустика, стійкість складних систем, коливання і руйнування у будівельній механіці, поведінку ветологіі, моніторинг психічних порушень, спричинених радіацією і навіть бунти у в'язницях).

ДЖЕРЕЛА:

Арнольд В. И. Теория катастроф. — М. : Наука, 1990. — 128 с.; Брекер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофа. — М. : Мир, 1977. — 208 с.; Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. — М. : Мир, 1984. — 349+285 с.; Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. — М. : Мир, 1983. — 300 с.; Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. — М. : Мир, 1980. — 617 с.; Стюарт И. Тайны катастрофы. — М. : Мир, 1987. — 80 с.; Том Р. Структурная устойчивость и морфогенез. — М. : Логос, 2002. — 288 с.; Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. — М. : Мир, 1985. — 256 с.