Зовнішнє незалежне оцінювання - комплексне видання

Частина I НАВЧАЛЬНИЙ ДОВІДНИК — З ПРИКЛАДАМИ ТА ЗАВДАННЯМИ

ЕЛЕКТРОДИНАМІКА

1. ОСНОВИ ЕЛЕКТРОСТАТИКИ

1.4. ЕЛЕКТРОЄМНІСТЬ. КОНДЕНСАТОРИ

1.4.1. ЕЛЕКТРОЄМНІСТЬ

Електроємність відокремленого провідника С — фізична величина, яка характеризує здатність провідника накопичувати заряд:

С = ,

де q — заряд провідника, — потенціал провідника.

✵ Одиниця електроємності в СІ — фарад:

[С] = Ф = .

1 Ф — це електроємність такого відокремленого провідника, потенціал якого при наданні цьому провідникові заряду 1 Кл становить 1 В. 1 Ф — дуже велика одиниця ємності, тому зазвичай використовують частинні одиниці: 1 мкФ, 1 пФ.

✵ Електроємність залежить від розмірів та форми провідника, а також від діелектричної проникності середовища, в якому він знаходиться, але не залежить від заряду провідника та його потенціалу.

1.4.2. КОНДЕНСАТОР. ОСОБЛИВОСТІ ПЛОСКОГО КОНДЕНСАТОРА

Конденсатор - це пристрій для накопичування електричного заряду. Він являє собою систему з двох провідників (обкладок), розділених шаром діелектрика, товщина якого є малою порівняно з розмірами обкладок.

✵ Обкладки конденсатора мають однакові за модулем, але протилежні за знаком заряди. Заряд конденсатора — де модуль заряду однієї з його обкладок.

✵ Конденсатори є неподоланною перешкодою для постійного струму. В ділянці кола, яка містить конденсатор, постійний струм не йде.

Електроємність (ємність) конденсатора — фізична величина, яка характеризує конденсатор і дорівнює відношенню заряду q до різниці потенціалів (₁ - ₂ ) між його обкладками:

C = ,

або

С = ,

де U = ₁ - ₂ — напруга на конденсаторі.

✵ Енергія електричного поля конденсатора (енергія конденсатора):

W = = = .

✵ За формою конденсатори поділяють на плоскі, сферичні, циліндричні та ін.

Плоский конденсатор складається з двох паралельних металевих пластин (обкладок), розділених шаром діелектрика, наприклад повітря (повітряний конденсатор), слюди (слюдяний конденсатор) та ін.

✵ Ємність С плоского конденсатора обчислюють за формулою:

C = ,

де — діелектрична проникність середовища між пластинами конденсатора, S — площа перекриття пластин, d — відстань між пластинами, ₀ = 8,85 ∙ 10^-12 Ф/м — електрична стала.

✵ Електричне поле між обкладками плоского конденсатора однорідне, тому напруженість Е цього поля пов'язана із напругою U між пластинами співвідношенням:

U = Ed.

1.4.3. З'ЄДНАННЯ КОНДЕНСАТОРІВ

Щоб одержати необхідну ємність конденсатори з'єднують між собою в батареї.

✵ Якщо батарея конденсаторів підключена до джерела струму, то загальна напруга на батареї не змінюється при будь-яких змінах, що відбуваються в батареї.

✵ Якщо батарея конденсаторів відключена від джерела струму, то не змінюється загальний заряд батареї.

Послідовне з'єднання конденсаторів

✵ У разі послідовного з'єднання п конденсаторів (рис. 1.16, а) заряд кожного конденсатора однаковий і дорівнює заряду батареї:

q = q₁ = q₂ = ... = q_n.

✵ Напруга на батареї дорівнює сумі напруг на кожному з конденсаторів:

U = U₁ +U₂ +...+U_n.

✵ Ємність батареї обчислюють за формулою:

= + + … + ,

✵ Якщо батарея містить n однакових послідовно з'єднаних конденсаторів ємністю С кожен, то С = .

Паралельне з'єднання конденсаторів

✵ У разі паралельного з'єднання п конденсаторів (рис. 1.16, б) напруга на кожному конденсаторі однакова і дорівнює напрузі на батареї:

U = U₁ = U₂ =... = U_n.

✵ Заряд батареї дорівнює сумі зарядів кожного з конденсаторів:

q = q₁ + q₂ + ... + q_n.

✵ Ємність батареї обчислюють за формулою:

С = C₁ + С₂ +... + C_n.

✵ Якщо батарея містить n однакових паралельно з'єднаних конденсаторів ємністю С' кожен, то С = nС'.

Рис. 1.16

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ

1. Від краплини води з електричним зарядом +q відокремилася краплина з електричним зарядом -q. Укажіть правильне твердження.

A Сумарний заряд краплин збільшився.

Б Електричний заряд решти краплини дорівнює +2 q.

В Електричний заряд решти краплини може становити q' = 4,0 ∙ 10^-19 Кл.

Г Після відокремлення краплини відштовхуються.

Обґрунтування вибору відповіді

✵ Твердження А є неправильним. У випадку електризації тіл виконується закон збереження заряду: в ізольованій системі алгебрична сума зарядів усіх частинок залишається незмінною:

q₁ + q₂ + q₃ + ... + q_n = const.

✵ Твердження Б є правильним. Відповідно до закону збереження електричного заряду сумарний заряд обох краплин дорівнює заряду початкової краплини, тобто +q.

Позначимо заряд решти краплини q'. Оскільки заряд нової краплини дорівнює -q, то q' + (-q) = +q, звідки одержуємо q' = +2q .

✵ Твердження В є неправильним. Електричний заряд тіла має бути кратним елементарному електричному зарядові (е = 1,6 ∙ 10^-19 Кл). У цьому випадку заряд решти краплини дорівнює 2,5е:

= = 2,5.

✵ Твердження Г є неправильним. Нові краплини мають заряди -q і +2q, тобто вони заряджені різнойменно (див. обґрунтування твердження Б).

Тіла, що мають електричні заряди з однаковими знаками, взаємно відштовхуються, а тіла, які мають заряди з протилежними знаками, взаємно притягуються.

Відповідь: Б.

2. На тонкій шовковій нитці висить маленька срібна кулька. До неї піднесли заряджену наличку (див. рисунок). Укажіть правильне твердження.

А Кулька і паличка заряджені однойменно.

Б Кулька притягуватиметься до палички навіть у тому випадку, якщо ця кулька не буде заряджена.

В Якщо торкнутися паличкою кульки, заряд кульки не зміниться.

Г На кульку і паличку діють різні за модулем сили електричної взаємодії.

Обґрунтування вибору відповіді

✵ Твердження А є неправильним. Існують два види електричних зарядів — позитивні й негативні. Заряд наелектризованої скляної палички умовно назвали позитивним, а ебонітової (бурштинової) — негативним.

Тіла, що мають електричні заряди з однаковим знаком, взаємно відштовхуються, а тіла, які мають заряди з протилежним знаком, взаємно притягуються.

✵ Твердження Б є правильним. Як відомо, електричне поле — форма матерії, за допомогою якої здійснюється електрична взаємодія заряджених тіл, вона оточує будь-яке заряджене тіло й виявляє себе в дії на заряджене тіло.

Заряджена паличка утворює навколо себе електричне поле, яке, діючи на електрони в незарядженій кульці, викликає в ній поділ зарядів. У результаті заряджена паличка притягуватиме ближчу половину кульки й відштовхуватиме дальшу.

✵ Твердження В є неправильним. Унаслідок зіткнення кульки і палички відбудеться перерозподіл зарядів, хоча відповідно до закону збереження заряду сумарний заряд обох тіл не зміниться.

✵ Твердження Г є неправильним. Згідно з третім законом Ньютона сили, з якими взаємодіють тіла, є рівними за модулем.

Відповідь: Б.

3. В електричне поле, силові лінії якого показано на рисунку, влітає електрон. Укажіть правильне твердження.

А Електрон рухається по траєкторії 1 рівномірно.

Б Електрон рухається по траєкторії 2 зі зменшенням швидкості.

В Електрон рухається по траєкторії 3 зі збільшенням швидкості.

Г Електрон може рухатися по траєкторії З зі зменшенням швидкості.

Обґрунтування вибору відповіді

✵ Твердження А є неправильним. В електричному полі на електрон діє сила, тому він не може рухатися рівномірно прямолінійно (тобто без прискорення).

✵ Твердження Б є неправильним. Сила, діє на електрон що ( = q), напрямлена вниз, тому він не може повернути вгору.

✵ Твердження В є правильним. На будь-яку заряджену частинку від електричного поля діє сила = q.

Напрямок напруженості в кожній точці збігається з напрямком сили, що діє від електричного поля на позитивний заряд, поміщений у цю точку.

Оскільки електрон заряджений негативно, то сила, яка діє на нього ( = -e) напрямлена вниз, тому він і повертає вниз. Оскільки сила напрямлена вертикально, горизонтальна складова швидкості руху електрона не змінюється, а вертикальна — збільшується. Отже, швидкість руху електрона збільшується.

✵ Твердження Г є неправильним. Сила, що діє на електрон, напрямлена вниз, тому він повертає вниз.

Відповідно до другого закону Ньютона ( = m) електрон під дією сили рухається з прискоренням. Складова прискорення швидкості руху електрона збігається з напрямком швидкості, тому швидкість руху електрона збільшується.

Відповідь: В.

4. На рисунку зображено силові лінії електричного поля. Укажіть правильне твердження.

А Поле утворене негативним зарядом.

Б Під час переміщення негативного заряду з точки 1 у точку 2 електричне поле виконує додатну роботу.

В Різниця потенціалів (₁ — ₂) від'ємна.

Г Під час переміщення негативного заряду з точки 1 у точку 2 потенціальна енергія заряду збільшується.

Обґрунтування вибору відповіді

✵ Твердження А є неправильним. Лінії напруженості електричного поля починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних.

✵ Твердження Б є неправильним. На заряд, що перебуває в електростатичному полі, діє сила з боку цього поля. Під час переміщення заряду ця сила може виконувати роботу, яку називають роботою поля.

Оскільки сила, яка діє на електрон, напрямлена до позитивного заряду (різнойменні заряди притягуються), а негативний заряд віддаляється від позитивного заряду, електричне поле виконує від'ємну роботу.

✵ Твердження В є неправильним. Різниця потенціалів між точками 1 і 2 дорівнює відношенню роботи поля під час переміщення заряду з точки 1 у точку 2 до величини цього заряду:

₁ — ₂ = .

Якщо з точки 1 у точку 2 рухається позитивний заряд q > 0, то напрямок сили, що діє на заряд з боку поля, збігається із напрямком руху

заряду, тому А > 0. Отже,

> 0 ₁ — ₂ > 0.

Якщо з точки 1 в точку 2 рухається негативний заряд q < 0, то напрямок сили протилежний напрямку руху заряду, тому А < 0 .

Отже,

> 0 ₁ — ₂ > 0.

✵ Твердження Г є правильним. Оскільки робота електричного поля від'ємна, то потенціальна енергія заряду збільшується відповідно до співвідношень ∆W_p = -А і А < 0 (див. обґрунтування твердження В).

Відповідь: Г.

5. Три однакові негативні заряди по 8 нКл розташовані у вершинах рівностороннього трикутника зі стороною 10 см. Укажіть правильне твердження.

А Щоб система зарядів перебувала в рівновазі, у центр трикутника треба помістити негативний заряд.

Б Сила взаємодії між двома зарядами, розташованими у вершинах трикутника, може бути меншою ніж 5 ∙ 10^-5 Н.

В Щоб система зарядів перебувала в рівновазі, у центр трикутника треба помістити заряд Q, за модулем більший ніж 4 нКл.

Г Напруженість поля в кожній із вершин трикутника, утворювана зарядами, що розташовані у двох інших вершинах, менша від 10 кН/Кл.

Обґрунтування вибору відповіді

✵ Твердження А є неправильним. Щоб система зарядів перебувала в рівновазі, у центр трикутника треба помістити позитивний заряд.

✵ Твердження Б є неправильним. Відповідно до закону Кулона

F = k = k,

де q — заряд у вершині трикутника, а — довжина сторони трикутника.

Тоді

F = 9 ∙ 10⁹ = 5,76 ∙ 10^-5 (Н).

✵ Твердження В є правильним. Щоб система зарядів перебувала в рівновазі, у центр трикутника треба помістити позитивний заряд. Умова рівноваги всієї системи зводиться до умови рівноваги кожного із зарядів q і має вигляд + + = 0 (див. рисунок).

Проектуючи цю умову рівноваги на вертикальну вісь і використовуючи закон Кулоні

(F₁ = F₂ = k, F₂ = k).

одержимо:

2k cos30°= k).

Звідси |Q| = .

Підставивши числові значення, одержимо: |Q| = 4,6 (нКл).

✵ Твердження Г є неправильним. За принципом суперпозиції електричних полів (напруженість поля, утвореного декількома зарядами, дорівнює векторній сумі напруженостей полів, утворених кожним із зарядів) для кожної з вершин трикутника:

= + .

Проектуючи це рівняння на вертикальну вісь, одержимо:

Е = k cos30° + kcos30° = 2k cos30°.

Обчислюємо напруженість поля у вершині трикутника:

E = 2 ∙ 9 ∙ 10⁹ ∙ 0,87 = 1,25 ().

Відповідь: В.

6. Конденсатор ємністю С₁ =1 мкФ зарядили до напруги U₀₁= 500 В і відключили від джерела живлення. Після того як паралельно конденсатору під'єднали інший конденсатор ємністю С₂, напруга на першому конденсаторі знизилася до U₁ =100 В. Установіть відповідність між фізичною величиною та її значенням в СІ після підключення другого конденсатора.

Обгрунтування вибору відповіді

1. Із визначення ємності:

C₁ = q₁ = C₁U₁

Ємність конденсатора — це його власна характеристика, вона не залежить ані від напруги на його обкладках, ані від його заряду, тому q₁ = 1 ∙ 10^-6 ∙ 100 = 1 ∙ 10^-4 (Кл). (В)

2. Із визначення ємності:

C₂ = .

Якщо батарея конденсаторів відключена від джерела живлення, то сумарний заряд батареї не змінюється: q = q₀₁ - C₁U₀₁ = 1 ∙ 10^{-6 .} 500 = 5 ∙ 10^-4 (Кл).

У разі паралельного з'єднання загальний заряд батареї дорівнює сумі зарядів кожного з конденсаторів:

q = q₁ + q₂ q₂ = q - q₁ = 5 ∙ 10^-4 - 1 ∙ 10^-4 = 4 ∙ 10^-4(Кл).

У разі паралельного з'єднання напруга на кожному конденсаторі однакова і дорівнює напрузі на батареї: U₂ = U₁ = 100 В.

Отже, С₂ = = 4 ∙ 10^-6 Ф. (А)

3. Енергію конденсатора можна розрахувати за будь-якою з наведених формул:

W = = = .

Скористаємося формулою W₁ = , оскільки значення необхідних величин надані в умові задачі:

W₁ = = 5 ∙ 10^-3 (Дж). (Г)

4. Для обчислення енергії батареї конденсаторів скористаємося формулою W = .

С = С₁ + С₂ =1 ∙ 10^-6 + 4 ∙ 10^-6 = 5 ∙ 10^-6 (Ф) ємність батареї паралельно з'єднаних конденсаторів (С₁ = 1 ∙ 10^-6 — з умови задачі, С₂ = 4 ∙ 10^-6 Ф — із обґрунтування твердження 2).

U = U₁ =100 В.

Отже, W = = 2,5 ∙ 10^-2 (Дж). (Д)

Той самий результат отримуємо і з формули

W = = = 2,5 ∙10^-2 (Дж).

Зверніть увагу: повна енергія конденсаторів зменшилася, отже, під час підключення другого конденсатора виділилася певна кількість теплоти:

Q = W₀₁ - W = — W = = 12,5 ∙ 10^-2 - 2,5 ∙ 10^-2 = 0,1 (Дж).

Відповідь: 1—В, 2—A, З—Г, 4—Д.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ

1. Дві металеві кулі, розташовані на ізолюючих підставках, привели у дотик. Після цього на деяку відстань від кулі В піднесли позитивно заряджену паличку (див. рисунок). Установіть правильне твердження. Обґрунтуйте, чому інші твердження с неправильними.

A Напруженість електричного поля всередині кулі В більша за напруженість електричного поля всередині кулі А.

Б Якщо до кулі А доторкнутися рукою, то обидві кулі матимуть негативний заряд.

В Якщо кулю А відсунути від кулі В, то вона матиме негативний заряд, а куля В — позитивний.

Г Куля В притягується до палички, але не взаємодіє з кулею А.

2. В однорідному електричному полі, напруженість якого напрямлена вертикально вгору, зависла заряджена металева порошинка. Вважайте, що g = 10 м/с². Установіть неправильне твердження. Доведіть, що інші твердження є правильними.

А Заряд порошинки позитивний (q > 0).

Б Якщо напруженість поля збільшити в 2 рази, а заряд порошинки зменшити в 2 рази, то порошинка залишиться у стані рівноваги.

В Якщо заряд порошинки збільшити у 5 разів, то порошинка почне рухатися вгору із прискоренням 20 м/с².

Г Якщо і напруженість поля, і заряд порошинки зменшити в 2 рази, то порошинка почне рухатися вниз із прискоренням 7,5 м/с².

3. Дві однакові негативно заряджені невеликі кульки, розташовані у вакуумі на відстані 3 см одна від одної, взаємодіють із силою 0,64 мН. Установіть правильне твердження. Обґрунтуйте, чому інші твердження є неправильними.

А Кульки притягуються одна до одної.

Б Напруженість електричного поля на відстані 1,5 см від кожної кульки дорівнює 640 кВ/м.

В Заряд кожної кульки дорівнює 4 нКл.

Г Кожна кулька має 5 ∙ 10¹⁰ «надлишкових» електронів.

4. Конденсатор ємністю С₁ =1 мкФ зарядили до напруги U₀₁ = 500 В. Не відключаючи конденсатор від джерела живлення, послідовно до нього під'єднали інший конденсатор ємністю С₂ = 4С₁. Установіть відповідність між фізичними величинами та їхніми значенням в СІ після підключення другого конденсатора.