Фізика - Чолпан П.П. 2003

Частина 1 МЕХАНІКА

Розділ 1 КІНЕМАТИКА

1.3. Прискорення. Прискорення при криволінійному русі

Градієнт швидкості матеріальної точки V з часом £ характеризують прискоренням

Прискорення виражається в метрах на секунду в квадраті (СІ) та сантиметрах на секунду в квадраті (СГС).

При прямолінійному русі вектор швидкості напрямлений уздовж однієї й тієї самої прямої — траєкторії, внаслідок чого напрям вектора збігається з напрямом вектора або протилежний до нього. Якщо збігається за напрямом із, то швидкість збільшується і рух буде прискореним. Якщо протилежне за напрямом до, то швидкість зменшується і рух буде сповільненим.

Прямолінійний рух зі сталим прискоренням називають рівнозмінним. Залежно від зміни швидкості в часі розрізняють рівномірно прискорений та рівномірно сповільнений рухи. При рівнозмінному прямолінійному русі справедлива формула

де — швидкість у момент часу t; ₀ — швидкість у початковий момент часу (при t = 0); — прискорення. При цьому вектори , ₀, напрямлені вздовж однієї прямої.

Визначимо прискорення точки у разі її руху по криволінійній траєкторії (рис. 1.2). Нехай у момент часу t точка була в положенні А, а в момент часу t + Δt — у положенні В. Швидкості ₁і ₂ у точках А і В напрямлені по дотичних до траєкторії в цих точках. Перенесемо вектор ₂ в точку А. Зміна швидкості за проміжок часу Δt визначиться вектором Із рис. 1.2. бачимо, що

Тоді прискорення в точці А запишемо так:

Вектор називають нормальним прискоренням, а вектор - тангенціальним. Прискорення _n перпендикулярне до вектора швидкості₁ і завжди напрямлене до центра кривизни. Звідси й назва цього вектора — нормальний (тобто перпендикулярний).

Рис. 1.2.

Визначимо модуль нормального прискорення. Як видно з рис. 1.2, для малого кута Δα можна записати

Тоді

Отже, модуль_п у деякій точці траєкторії дорівнює відношенню квадрата швидкості до радіуса кривизни траєкторії в цій самій точці:

Якщо на нормалі до траєкторії відкласти в точці А одиничний вектор, що напрямлений до центра кривизни, то вектор нормального прискорення можна записати так:

Розглянемо тепер вектор тангенціального прискорення

Зазначимо, що модуль вектора Δ ’ дорівнює за абсолютною величиною різниці модулів ₂ та ₁ (див. рис. 1.2). Тоді

Відповідно тангенціальне прискорення

Отже, значення тангенціального прискорення дорівнює першій похідній від швидкості за часом або другій похідній_від шляху. Напрям вектора _τ визначається напрямом вектора Δ ’, який він набуває в граничному випадку, коли Δt —> 0. Неважко побачити, що в граничному випадку вектор Δ ’ напрямлений по дотичній до траєкторії в точці А. Звідси і назва цього вектора — тангенціальний (дотичний). Якщо ввести одиничний вектор, дотичний до траєкторії і напрямлений у бік руху точки, то вектор тангенціального прискорення можна записати так:

Вектор _τ показує, як змінюється швидкість за числовим значенням, а вектор _n характеризує зміну швидкості за напрямом. Отже, для повного прискорення запишемо

Модуль вектора загального прискорення знайдемо із співвідношення