Фізика - Чолпан П.П. 2003

Частина 2 МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА

Розділ 5 ЯВИЩА ПЕРЕНЕСЕННЯ

5.9. Нестаціонарна теплопровідність

Розглянемо знову дві посудини І і II, як для випадку нестаціонарної дифузії (див. рис. 5.3), об’єми яких відповідно рівні V₁ і V ₂, але наповнюються тепер однорідним за складом газом при однаковому в обох посудинах тиску. Ці посудини з’єднані трубкою l з площиною перерізу s. Припустімо, що в деякий момент часу температури газу в цих посудинах дорівнюють Т₁ і Т₂, і для визначеності візьмемо Т₁ > Т₂.

Якщо на газ не діють зовнішні впливи, то внаслідок теплопровідності температури газу в обох посудинах вирівнюватимуться, тобто різниця температур

зменшуватиметься з плином часу. Цей процес можна було б ще назвати «дифузією температури». Принагідно сказати, що у цьому разі відбувається також дифузія в загальноприйнятому розумінні цього слова.

Знайдемо закон зменшення різниці температур з плином часу. Відповідно до рівняння (5.24) потік теплоти через трубку визначають рівнянням

Припустімо також, що температура вздовж з’єднувальної трубки змінюється рівномірно, так що на будь-яку одиницю довжини припадає одна й та сама різниця температур. Тоді немає потреби користуватися нескінченно малими величинами і можна записати:

За нескінченно малий проміжок часу dt із посудини І у посудину II через трубку перейде кількість теплоти, яка дорівнює

Унаслідок цього температура газу в посудині І зменшиться на деяку величину dt ₁, а в посудині II підвищиться на величину dТ₂. Ця зміна температур залежить від теплоємності газу С _V, яка дорівнює добутку питомої теплоємності газу c_V на його масу m. Із відомих співвідношень між кількістю теплоти і температурою зрозуміло, що

де m ₁ і m ₂ — маси газу в посудинах І і II відповідно; dТ ₁ і dТ₂ — абсолютні значення зміни температури.

Якщо густина газу в посудинах дорівнює ρ, то

тому можна записати попередні вирази у такому вигляді:

Зменшення температури в посудині І на dТ ₁ і збільшення її на dТ₂ в посудині II приводить до зменшення різниці температур між ними на величину

Підставивши сюди значення із співвідношення (5.25), дістанемо

Позначимо, як і для дифузії, зведений об’єм через V ₀ перепишемо попередній вираз:

Зінтегрувавши цей вираз, матимемо

де А — стала інтегрування. Її легко визначити, виходячи з тих міркувань, що різниця температур у початковий момент, тобто за t = 0, становить (ΔТ)₀ . Підставивши у вираз (5.26) t= = 0 і ΔТ = (ΔТ)₀, дістанемо А = (ΔТ)₀. Отже,

Рівняння (5.27) виражає закон вирівнювання температури з плином часу шляхом теплопровідності. Цей закон аналогічний закону вирівнювання концентрацій дифузією (5.17). В обох випадках вирівнювання відбувається за експоненціальним законом. Якщо порівняти (5.27) з (5.17)

то видно, що експоненціальні множники в правій частині обох рівнянь збігаються за умови, що Отже, вираз можна вважати коефіцієнтом «дифузії температури». Величина k/ρс _V, яка залежить від властивостей газу, характеризує швидкість вирівнювання температури, тому вона називається коефіцієнтом температуропровідності газу (або будь-якого іншого тіла). Множник s/(V ₀l) є суто геометричним і характеризує лише апаратуру.

Неважко переконатися, що коефіцієнт температуропровідності так само, як і коефіцієнт дифузії, виражається в квадратних метрах на секунду (м²/с). Як і під час розгляду дифузії, введемо сталу часу теплопровідності τ, що є проміжком часу, протягом якого різниця температур між двома об’ємами внаслідок теплопровідності газу зменшиться в е разів,