Математика. Ґрунтовна підготовка до ЗНО

ГЕОМЕТРІЯ

Частина перша. ОПРАЦЮВАННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Розділ І. ПОВТОРЕННЯ МАТЕРІАЛУ ЗА ПРОГРАМОЮ З ГЕОМЕТРІЇ 7-9 КЛАСІВ

Тема 10. ДОВЖИНА КОЛА І ПЛОЩА КРУГА

Довжина кола

Довжина С кола обчислюється за формулою:

С = 2 R або С = d.

де R — радіус кола, d — його діаметр (рис. 1).

Відношення довжин двох кіл дорівнює відношенню їх радіусів:

= .

Рис. 1

Довжина дуги

Довжина дуги кола радіуса R може бути обчислена за формулою:

l = (рис. 2),

де l — довжина дуги; n° — градусна міра дуги.

Рис. 2

Число

Відношення довжини кола до його діаметра не залежить від кола, тобто воно одне й те ж для будь-яких кіл (рис. 3).

Це відношення прийнято позначати буквою :

= = : = 3,1415926...

Рис. 3

Площа круга і його частин

Площа круга обчислюється за формулами:

S = R² або S = ,

де R — радіус круга, d — його діаметр (рис. 4).

Круговим сектором називається частина круга, яка лежить усередині відповідного центрального кута (рис. 5).

Площа сектора може бути обчислена за формулою

S = (рис. 5),

де n° — градусна міра дуги сектора.

Рис. 4

Рис. 5

Круговим сегментом називається спільна частина круга і півплощини (рис. 6). Якщо круг перетнути прямою, він ділиться на два кругових сегменти.

Площу кругового сегмента можна обчислити за формулою:

S_{круг сегмента} = S_{круг сектора} + S∆АОВ (рис. 6), причому при а < 180° беремо знак «-», а при а > 180° — знак «+».

Рис. 6

Площа кругового кільки

Круговим кільцем називається частина площини, обмежена двома концентричними колами.

Площа кругового кільця дорівнює різниці площ зовнішнього і внутрішнього кругів.

S = (D² - d²),

де D — діаметр зовнішнього круга, d — діаметр внутрішнього круга (рис. 7).

Рис. 7

Виконайте тест

Завдання 1—8 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть довжину кола (у см), якщо його радіус дорівнює 2 см.

2. Довжина відрізка АВ дорівнює а. На ньому позначено точки С₁, С₂, С_{3, ...} С_n і побудовано півкола, які мають діаметри АС₁, С₁С₂, С₂С_{3 ...} С_nВ. Знайдіть довжину побудованої кривої з кінцями в точках А і В.

3. Точки А і В лежать на колі, хорда АВ не проходить через його центр. Порівняйте довжину кола С і 16, якщо довжина хорди АВ дорівнює 16.

4. Сторона квадрата дорівнює а, із його вершин побудовано дуги кіл радіусом .

Знайдіть площу заштрихованої фігури.

5. Обчисліть площу кругового кільця (у см²), якщо його внутрішній і зовнішній діаметри дорівнюють 6 см і 8 см відповідно.

6. Знайдіть довжину дуги кола радіуса 120 см, якщо її кутова величина дорівнює 30°.

7. Три рівні кола радіусом R дотикаються одне одного. Знайдіть площу заштрихованого криволінійного трикутника.

8. Два рівні круга радіусом r розміщені всередині круга (див. рисунок), радіус якого більший за r, і дотикаються до нього. Знайдіть площу заштрихованої області, якщо круги меншого радіуса дотикаються один до одного в точці О — центрі великого круга

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між задачами (1 —4) та їх відповідями (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Знайдіте S площу заштрихованої фігури за рисунком (у см²). У відповідь запишіть

11. Знайдіть відношення площі круга, описаного навколо квадрата, до площі круга, вписаного в нього.

12. Знайдіть площу S кругового кільця (у см²), обмеженого двома колами з одним і тим самим центром і радіусами, що дорівнюють 4 см і 6 см. У відповідь запишіть .

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так:

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.