Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§19. ТІЛА І ПОВЕРХНІ ОБЕРТАННЯ, ЇХ ЕЛЕМЕНТИ.

3. Перерізи циліндра площинами.


Переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь, називають осьовим перерізом циліндра (мал. 484). Осьовий переріз циліндра — прямокутник, одна із сторін якого дорівнює діаметру циліндра, а інша - його висоті. На малюнку 484 прямокутник АВВ1А1 - осьовий переріз циліндра; АВ - діаметр циліндра; АА1 - твірна, що дорівнює висоті циліндра. Якщо осьовим перерізом циліндра є квадрат, його інколи називають рівнобічним (або рівнобедреним або рівностороннім).

Приклад 1. Довжина кола основи циліндра дорівнює 12 π см, а діагональ осьового перерізу - 13 см. Знайти твірну циліндра.

Розв’язання. 1) Нехай А 1В - діагональ осьового перерізу циліндра (мал. 484); А 1В = 13 см.



2) Позначимо радіус циліндра - r. Тоді за умовою 2πr = 12π, звідси 2r = 12 (см). Тому АВ = 2r = 12 см.

Приклад 2. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи дорівнює 4 см і утворює з площиною основи кут 45°. Знайти площу осьового перерізу циліндра.

Розв’язання. 1) Нехай O 1С - відрізок, що з’єднує центр верхньої основи - точку О1 з точкою С кола нижньої основи (мал. 485). O 1С = 4 см.

2) ОС - проекція O 1С на площину нижньої основи, тому O 1CO - кут, що утворює відрізок O 1С з площиною нижньої основи. За умовою О 1СО = 45°.

4) АА 1В 1В - осьовий переріз, АА 1 = ОО 1 = 4 см; АВ = 2 ∙ АО = 4 ∙ 2 = 8 (см).

5) Тому площа діагонального перерізу SAA 1 B 1 B = АВ ∙ АА 1 = 8 ∙ 4 = 32 (см2).



Переріз циліндра площиною, яка є паралельною до площини основ - круг, що дорівнює кругу основи циліндра (мал. 486). Радіус перерізу А2 O 2 дорівнює радіусу циліндра АО.

Перерізом циліндра площиною, паралельної осі циліндра є прямокутник. На малюнку 487 прямокутник АА 1В 1В - переріз циліндра площиною, паралельної осі циліндра ОО 1.



Дві його сторони: АА 1 і ВВ 1 - твірні циліндра, а дві інші: АВ і А 1В 1 - паралельні і рівні хорди основ.

Приклад 3. Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу 60º. Радіус основи циліндра дорівнює 6 см, а висота - 5 см. Знайти периметр отриманого перерізу.

Розв’язання. 1) Нехай АВВ 1А 1 - переріз, що задано в умові (мал. 487), АО = ОВ = 6 см, АА 1 = 5 см, AOB = 60°.

2) Оскільки АО = ОВ, то ∆АОВ - рівнобедрений, Тому ∆АОВ - рівносторонній, АВ = ОА = 6 см.

3) Отже, периметр перерізу Р ABB 1 B 1 B= 2(АА 1 + АВ) = 2(5 + б) = 22 (см).





Перша публікація: 01/01/2008

Останнє оновлення: 30/12/2023

Редакційна та навчальна адаптація: Даний матеріал зведено на основі першоджерела/оригінального тексту. Команда проєкту здійснила редакційне оглядове опрацювання, виправлення технічних неточностей, структурування розділів та адаптацію змісту до навчального формату.

Що було опрацьовано:

  • усунення форматних дефектів (OCR-помилки, розриви структури, дефектні символи);
  • редакційне упорядкування змісту;
  • уніфікація термінів відповідно до академічних джерел;
  • перевірка відповідності фактичних тверджень тексту першоджерела.

Усі згадки про автора, рік видання та походження первинного тексту збережено відповідно до джерела.