Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§17. ПІРАМІДА.

5. Об’єм піраміди.

Об’єм піраміди V дорівнює третині добутку площі її основи на висоту:

де S _осн - площа основи піраміди, h - висота піраміди.

Приклад 1. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічне ребро утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть об’єм піраміди.

Розв’язання. 1) (мал. 472). Нехай QАВС - задана в умові піраміда; ∆АВС - правильний; ВС = 6 см; QК - висота піраміди; QВК = 45°.

2) Площа основи де а = ВС = 6 см - сторона основи. Маємо

3) Оскільки К - центр трикутника, то КВ = R - радіус кола, описаного навколо основи:

Тому ∆QКВ - рівнобедрений і QК = К В = 2 (см).

5) Об’єм піраміди

Приклад 2. В основі піраміди лежить квадрат. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом 30º. Знайти об’єм піраміди, якщо середнє за величиною бічне ребро піраміди дорівнює 4 см.

Розв’язання. 1) Нехай QАВСD - задана в умові піраміда; АВСD - квадрат; бічні грані QАD і QАВ перпендикулярні площині основи (мал. 473).

2) Оскільки бічні грані QАD і QАВ перпендикулярні площині основи, то бічне ребро по якому перетинаються ці грані, також перпендикулярне до основи. Тому QА = h - висота піраміди.

3) АD DС, тому за теоремою про три перпендикуляри QD DС. А отже QАD DС. Тому QDA - кут, що утворює бічна грань QDС із площиною основи. QDA = 30° (за умовою).

4) Оскільки ∆QАD - прямокутний ( A = 90°), то QD > QА. ∆QDC - прямокутний ( QDC = 90°), тому QD < QС. Враховуючи також QD = QВ (з рівності трикутників QAD і QАВ) матимемо, що саме QD - середнє за величиною бічне ребро. За умовою QD = 4 см.

5) В ∆QАО: QА = 4/2 = 2 (см), використовуючи властивість катета, що лежить проти кута 30°.

6) Площа основи

7) Об’єм піраміди

Приклад 3. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 4 см, 5 см і 6 см. Усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 60º. Знайти об’єм піраміди.

Розв’язання. 1) Нехай QАВС - задана в умові піраміда, АВ = 4 см, АС = 5 см, ВС = 6 см (мал. 474).

2) За відомою властивістю: точка К - основа висоти QК є центром кола, описаного навколо ∆АВС. АК = R - радіус описаного кола.

3) QАК = 60° (за умовою).

5) Оскільки де S – площа трикутника, то маємо