Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§8. ПЕРПЕНДИКУЛЯР І ПОХИЛА. ПРОЕКЦІЯ ПОХИЛОЇ НА ПЛОЩИНУ.

2. Властивості перпендикуляра і похилої.


Розглянемо властивості перпендикуляра і похилої.

1) Перпендикуляр, опущений із даної точки до площини, менший від будь-якої похилої, проведеної з цієї самої точки до площини.

На малюнку 411: АН < АК.

2) Якщо дві похилі, проведені з даної точки до площини, рівні, то рівні їх проекції.

На малюнку 412 з точки А до площини а проведено дві похилі АК і АK 1 та перпендикуляр АН і АК = АК 1. Тоді за властивістю: НК = НК1.

3) Якщо дві похилі, проведені з даної точки до даної площини, мають рівні проекції, то вони рівні між собою.

На малюнку 412 з точки А до площини а проведено дві похилі АК і АK 1 та перпендикуляр АН, причому КН = К 1Н. Тоді за властивістю: АК = АК 1.

4) Якщо з даної точки проведено до площини дві похилі, то більша похила має більшу проекцію.

На малюнку 413 з точки А до площини а проведено дві похилі АК і АL та перпендикуляр АН, AК > AL. Тоді за властивістю: HК > HL.

5) Якщо з даної точки проведено до площини дві похилі, то більшою з них є та, яка має більшу проекцію на дану площину.

На малюнку 413 з точки А до площини а проведено дві похилі АК і АL та перпендикуляр АН, НК > НL. Тоді за властивістю: АК > АL.



Приклад 1. З точки до площини проведено дві похилі, довжини яких 41 см і 50 см. Знайти проекції похилих, якщо вони відносяться, як 3 : 10, та відстань від точки до площини.

Розв’язання. 1) АL = 41 см; АК = 50 см (мал. 413). За властивістю маємо НL < НК. Позначимо НL = 3х см, НК = 10х см, АН = h см. АН - відстань від точки А до площини α.

4) Прирівнюючи, маємо 412 - 9х2 = 502 - 100х2; х2 = 9; х = 3 (враховуючи х > 0). Отже, НL = 3 ∙ 3 = 9 (см), НК = 10 ∙ 3 = 30 (см).

Приклад 2. З даної точки до площини проведено дві похилі, кожна по см. Кут між похилими дорівнює 60°, а кут між їх проекціями - прямий. Знайти відстань від точки до площини.

Розв’язання.

1) АС = ВС = см - похилі, ВАС = 60°; ВНС = 90° (мал. 414). Необхідно знайти АН.

2) У рівнобедреному трикутнику АВС: тому ∆АВС - рівносторонній; ВС = см.

3) Оскільки АВ = АС, то НВ = НС; позначимо НВ = НС = х см. Тоді у ∆ВНС:






Перша публікація: 01/01/2008

Останнє оновлення: 30/12/2023

Редакційна та навчальна адаптація: Даний матеріал зведено на основі першоджерела/оригінального тексту. Команда проєкту здійснила редакційне оглядове опрацювання, виправлення технічних неточностей, структурування розділів та адаптацію змісту до навчального формату.

Що було опрацьовано:

  • усунення форматних дефектів (OCR-помилки, розриви структури, дефектні символи);
  • редакційне упорядкування змісту;
  • уніфікація термінів відповідно до академічних джерел;
  • перевірка відповідності фактичних тверджень тексту першоджерела.

Усі згадки про автора, рік видання та походження первинного тексту збережено відповідно до джерела.