Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

§2. ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ У ПРОСТОРІ.

2. Паралельність прямих у просторі.

З означення паралельності прямих випливає, що через дві паралельні прямі можна провести площину. Ця площина єдина. Отже, Через дві паралельні прямі можна провести площину, і до того ж тільки одну.

До трьох способів задавання площини, розглянутих у попередньому параграфі, додамо ще один: площину можна задавати двома паралельними прямими.

Як відомо, на площині через дану точку, яка не належить прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній (аксіома паралельності прямих на площині, або аксіома Евкліда). Така ж властивість виконується у просторі.

Через будь-яку точку простору, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Подамо властивість паралельних прямих.

Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то її друга пряма перетинає площину.

Нам малюнку 367: аllb і а α = М. За вказаною властивістю пряма b також також перетинає площину α.

Корисною є ознака паралельності прямих: дві прямі паралельні третій прямій, паралельні між собою.

На малюнку 368: а||b і а||с, тоді b||с.

Приклад. Через кінець А відрізка АВ проведено площину α. Через кінець В і точку М цього відрізка проведено паралельні прямі, які перетинають площину а в точках В₁ і М ₁ відповідно (мал. 369). Знайти довжину відрізка ММ₁, якщо ВВ₁ = 6 см і ВМ : МА =1:2.

Розв’язання. 1) Оскільки ВВ ₁ || ММ ₁, то через прямі ВВ ₁ і ММ ₁ можна провести деяку площину β.

2) Площини α і β перетинаються по прямій В₁М ₁. А α, А ВМ, ВМ β, тому А β. Отже, А α і А β, тому точка А належить прямій перетину площин α і β - прямій В ₁М ₁.

3) ABB ₁ = AMM₁ (відповідні кути при паралельних прямих ВВ₁ і ММ₁ і січній АВ), A - спільний для ∆АММ₁ і ∆АВВ₁. Тому ∆АММ ₁ - ∆АВВ₁ (за двома кутами), звідки

4) Оскільки ВМ : МА = 1 : 2, то можна позначити ВМ = х см, МА = 2х см; тоді Маємо