Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§22. ТРАПЕЦІЯ, ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ ТА ВИДИ. СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРАПЕЦІЇ.

3. Середня лінія трапеції, її властивості.

Середньою лінією трапеції називають відрізок, що сполучає середини її бічних сторін.

На малюнку 263 відрізок KL - середня лінія трапеції ABCD.

Властивість середньої лінії трапеції:

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

На малюнку 263 KL || AD; KL || ВС і

Приклад 1. Бічні сторони трапеції дорівнюють 6 см і 7 см, а її середня лінія - 9 см. Знайдіть параметри трапеції.

Розв’язання. 1) На малюнку 263 зображено трапецію, у якої бічні сторони АВ = 6 см, СD = 7 см; середня лінія КL = 9 см.

2) Оскільки

3) Тоді периметр

Р = АВ + ВС + CD + DA = АВ + CD + (AD + ВС) = 6 + 7 + 18 = 31 (см).

Приклад 2. У рівнобічній трапеції діагональ ділить гострий кут навпіл. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її основи відносяться, як 1:2, а периметр трапеції дорівнює 60 см.

Розв’язання. 1) Нехай ABCD - дана трапеція (мал. 264). BC : AD = 1 : 2; BAC = CAD; EF - середня лінія.

2) Позначимо ВС = х, тоді AD = 2х і

3) САD = ВСА (внутрішні різносторонні при прямих АD і ВС та січній АС). ВАС = САD (за умовою). Тому ВАС = ВСА. Отже, ∆ВАС - рівнобедрений (за ознакою рівнобедреного трикутника). Тому АВ = ВС = х. Також СD = АВ = х.

4) Оскільки периметр трапеції дорівнює 60 см, маємо х + х + х + 2х = 60; 5х = 60; х = 12 см.

5) Тоді EF = 3/2 ∙ 12 = 18 (см).