Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§18. ПАРАЛЕЛОГРАМ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ. ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛОГРАМА.

1. Означення паралелограма та його властивості.

Паралелограмом називають чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

На малюнку 236 зображено паралелограм АВСD: АВ || СD, АD || ВС.

Розглянемо властивості паралелограма:

1) Сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°.

2) Паралелограм є опуклим чотирикутником.

3) У паралелограмі протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні.

На малюнку 236: АВ = СD, АD = ВС, A = C, B = D.

4) Периметр паралелограма Р_{А BCD} ⁼ 2(АВ + ВС).

5) Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться пополам.

На малюнку 237: точка О - точка перетину діагоналей паралелограма; АО = ОС; ВО = ОD.

6) Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.

На малюнку 234:

Приклад 1. Знайдіть усі кути паралелограма, якщо сума двох з них дорівнює 140°.

Розв’язання. Оскільки сума двох кутів паралелограма дорівнює 140°, то це - протилежні кути, наприклад A і C на малюнку 236. Оскільки A = C, то

Приклад 2. У паралелограмі АВСВ бісектриса кута А ділить сторону ВС на відрізки ВК = 3 см і КС = 2 см (мал. 238). Знайдіть периметр паралелограма.

Розв’язання.

1) ВС = ВК + КС = 3 + 2 = 5 (см).

2) KAD = ВКА (як внутрішні різносторонні кути при перетині паралельних прямих АВ і ВС січною АК).

3) KAD = КАВ (за умовою), тому ВКА = КАВ. Отже, за ознакою рівнобедреного трикутника: ∆АВК - рівнобедрений, АВ = ВК = 3 см.

4) P_ABCD = 2(AB + ВС) = 2(3 + 5) = 16 (см).

Приклад 3. Діагоналі паралелограма дорівнюють 7 см і 12 см, а одна із сторін на 1 см менша за другу. Знайдіть сторони паралелограма.

Розв’язання (мал. 237). 1) За умовою АС = 11 см; ВD = 7 см. Нехай АD = х см, тоді ВС = (х - 1) см.

2) За властивістю діагоналей паралелограма маємо:

Враховуючи х > 0, маємо х = 7. Отже, АD = 7 см, ВС = 6 см.

Висотою паралелограма називають перпендикуляр, проведений з будь-якої точки сторони паралелограма до прямої, що містить протилежну сторону.

На малюнку 239 MN - висота паралелограма; МN АD, ММ ВС.

З кожної вершини паралелограма можна провести дві висоти. Наприклад, на малюнку 240 ВF і ВТ - висти паралелограма, проведені відповідно до сторін АD і СD.

Приклад 4. У паралелограмі ABCD з вершини тупого кута В проведено висоти BF і ВТ (мал. 240), FBT = 65°. Знайдіть кут А паралелограма.

Розв’язання. 1) У чотирикутнику FBTD: D = 360° - (65° + 2 ∙ 90°) = 115°.

2) Тоді A = 180° - D = 180° - 115° = 65°.