Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ III. ФУНКЦІЯ

§21. ЗНАХОДЖЕННЯ НАЙБІЛЬШОГО І НАЙМЕНШОГО ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ ТА ВІДРІЗКУ. ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ НА ЗНАХОДЖЕННЯ НАЙБІЛЬШОГО І НАЙМЕНШОГО ЗНАЧЕНЬ.

1. Знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку.

У курсі математичного аналізу доводиться теорема Вейєритрасса: неперервна на відрізку [a;b] функція має на цьому відрізку найбільше і найменше значення.

Цю теорему слід розуміти так, що для неперервної на [a;b] функції існують точки відрізка [a;b] у яких f(x) набуває найбільшого та найменшого на [a;b] значення. Якщо функція у= = f(x) неперервна на відрізку [а;b] і має на цьому відрізку скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка.

Виходячи з наведеного, можна запропонувати наступну схему знаходження найбільшого і найменшого значення функції у = f(x) на проміжку [a;b]:

1) Перевіряємо входження заданого проміжку в область визначення функції.

2) Знаходимо похідну f '(x).

3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення f(x), в яких f '(x) не існує та розв’язати рівняння f ‘(x) = 0.

4) Вибираємо критичні точки, що належать проміжку [a;b].

5) Обчислюємо значення функції в вибраних критичних точках та в точках а і b.

6) Порівнюємо одержані значення та знаходимо найбільше та найменше значення функції у = f(x) на проміжку [a;b].

7) Відповідь.

Приклад. Знайдіть найбільше та найменше значення функції на проміжку [0;3].

Розв’язання.

1) D(f) = R, розглядуваний проміжок належить області визначення.

3) Похідна існує в усіх точках; розв’язки рівняння х² + х - 2 = 0, тобто х ₁ = 1; х ₂ = -2 - критичні точки.

6) Отже, найбільше значення функції f(x) на заданому проміжку f(3) = 46, а найменше - f(1) = -6.

7) Це записують наступним чином: