Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ II. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§32. ЗАСТОСУВАННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ ФУНКЦІЙ ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ.

2. Оцінювання лівої і правої частини рівняння або нерівності.

Деякі види рівнянь виду f(x) = g(x), та нерівностей виду f(x) ≤ g(x) вдається розв’язати за рахунок обмеженої лівої і правої частини рівнянь.

Якщо у рівнянні f(x) = g(x) або нерівності f(x) ≤ g(x) для всіх значень х із ОДЗ справедливі оцінки f(x) ≥ a, g(x) < а (де а — деяке число), то рівняння або нерівність не мають розв’язків.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Оскільки |х| ≥ 0 для всіх значень х, то |х| + 1 ≥ 1. З іншого боку

Отже, Тому рівняння не має розв’язків.

Якщо у рівнянні f(x) = g(x) або нерівності f(x) ≤ g(x) для всіх значень х із ОДЗ справедливі оцінки f(x) ≥ а, g(x) ≤ а, то рівняння або нерівність рівносильне системі

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. ОДЗ цієї нерівності складається з усіх дійсних чисел. Оцінюємо ліву частину нерівності |х| ≥ 0; -|х| ≤ 0; 1-|х| ≤ 1. Оцінимо праву частину нерівності

Отже, Тому початкова нерівність рівносильна системі:

звідки

Отже, х = 0 — єдиний розв’язок нерівності.