Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ II. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§31. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТЕЙ ТА СИСТЕМ З ПАРАМЕТРАМИ.

1. Розв’язування рівнянь з параметрами.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. При розв’язуванні рівняння слід розглянути випадки, коли a² - 9 = 0 (де відбувається, коли а = 3 або а = -3) і коли а² - 9 ≠ 0. Отже:

1) а = 3, тоді рівняння матиме вигляд 0 ∙ х = 0 і х — будь-яке число;

2) а = -3, рівняння матиме вигляд 0 ∙ х = -6 і рівняння не має розв’язків;

3) а ≠ 3; а ≠ -3, тоді

Відповідь. Якщо а = 3, то х — будь-яке число; якщо а = -3, то рівняння не має розв’язків; якщо а ≠ 3; а ≠ -3, то х = 1/(a + 3).

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння ах² - 2х - 1 = 0.

Розв’язання. Якщо параметр а = 0, то матимемо лінійне рівняння, якщо ж а ≠ 0, то квадратне. Такі випадки і слід розглянути.

1) а = 0; -2х - 1 = 0; х = -0,5.

2) а ≠ 0. Знаходимо дискримінант рівняння D = 4 + 4а. Якщо D ≥ 0, тобто 4 + 4а ≥ 0; а ≥ -1, то рівняння матиме два кореня (за умовою, що а ≠ 0), різні або однакові:

Якщо ж 4 + 4а < 0, тобто а < -1, то рівняння не матиме дійсних коренів.

Відповідь. Якщо а = 0, то х = -0,5; якщо а < -1, то рівняння не має розв’язків; якщо а ≥ -1 і а ≠ 0, то

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 7 ∙ 2^х + 12 = а + а ∙ 2^х.

Розв’язання. Маємо (7 - а) ∙ 2^х = а - 12.

1) Якщо а = 7, то рівняння 0 ∙ 2^х = -5 — розв’язків не має.

2) Якщо а ≠ 7, то Це рівняння матиме розв’язок, якщо тобто а (7;12). В цьому випадку

Якщо ж а < 7 або а ≥ 12, то розв’язків не має.

Відповідь. Якщо а ≤ 7 або а ≥12, то рівняння не має розв’язків; якщо