Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ II. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§23. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ.

4. Однорідні тригонометричні рівняння та рівняння, що зводяться до однорідних.

Тригонометричні рівняння a sin х + b cos х = 0, де а і b — числа, а ≠ 0, b ≠ 0, називають однорідними тригонометричними рівняннями 1-го степеня відносно sin х і cos х.

Ті значення х, при яких cos x = 0, не є коренями рівняння. Дійсно у разі cos х = 0 рівняння набуває вигляду a sin x = 0. Оскільки а ≠ 0, то матимемо sin x = 0. Проте sin x і cos x не можуть одночасно дорівнювати нулю.

Поділивши ліву і праву частини рівняння a sin x + b cos x = 0 на cos x ≠ 0, матимемо a tg x + b = 0, після чого закінчуємо розв’язання.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 2 sin x – 7 cos x = 0.

Розв’язання. Поділимо обидві частини рівняння на cos x ≠ 0. Матимемо

Тригонометричне рівняння де а, b, с — числа, з яких хоча б два відмінні від нуля, називають однорідними тригонометричними рівняннями другого степеня відносно sin x і cos x. Сума показників степенів у всіх доданків при sin x і cos x дорівнює двом.

Якщо а ≠ 0, то рівняння (по аналогії з однорідним 1-го степеня) розв’язують, поділивши на cos² х ≠ 0 з подальшою заміною tg x = t. Якщо ж а = 0, то виносимо cos х за дужки та застосовуємо прийом відомий нам з попереднього пункту.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Ті значення х, при яких cos x = 0, не є коренями рівняння. Розділимо ліву і праву частини рівняння на cos² х ≠ 0. Маємо

Заміна tg x = t, маємо

До однорідних можуть зводитися рівняння, які мають зовнішній вигляд, відмінний від зовнішнього вигляду однорідного рівняння. При цьому часто застосовують формули тригонометричних функцій подвійного кута та тотожність

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Застосовуємо формулу sin 2х = 2 sin x cos x і таку тотожність Маємо

Поділимо ліву і праву частини на cos² х ≠ 0. Маємо Заміна tg x = t. Рівняння 3t² —2t — 5 = 0 має корені t ₁ = -1; t ₂ = 5/3. Тоді