Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ II. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§7. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ, ЩО ЗВОДЯТЬСЯ ДО КВАДРАТНИХ.

1. Дробові раціональні рівняння.

При розв’язуванні дробового раціонального рівняння можна використовувати різні способи. Розглянемо два з них.

Перший спосіб полягає у використанні умови рівності дробу нулю: дріб a/b дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли а = 0 і b ≠ 0.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Розкладемо на множники знаменники дробів та перенесемо дріб із правої частини рівняння в ліву

Зведемо дроби у лівій частині рівняння до спільного знаменника.

Останнє рівняння рівносильне системі:

Звідси отримаємо

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Розкладемо на множники знаменники дробів.

Домножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник дробів - вираз х(х – 2)(х + 2) за умови, що він не дорівнює нулю. Маємо:

Якщо х = 3, то х(х - 2)(х + 2) ≠ 0, отже, х = 3 - корінь початкового рівня. Якщо ж х = -2 , то х(х – 2)(х + 2) = 0, а тому х = -2 - не є коренем рівняння.

Отже, х = 3 - єдиний корінь початкового рівня.