ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

Урок 60

Тема. Розв'язування задач на застосування векторів

Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати вивчений матеріал до розв'язування задач.

Обладнання: стінна таблиця «Вектори в просторі».

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Два учні відтворюють розв'язування задач № 55 (4), 56.

2. Фронтальне опитування.

1) Чому дорівнює скалярний добуток векторів, які задано коорди­натами?

2) Як можна обчислити скалярний добуток векторів, якщо відомі їх довжини і кут між ними?

3) Як можна визначити косинус кута між двома ненульовими век­торами?

4) Сформулюйте ознаку перпендикулярності двох ненульових векторів.

5) У просторі дано вектори (1; 1; 0), (0; 1; 1). Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які — неправильні:

а) довжини векторів  і  рівні;

б) скалярний добуток векторів  і  дорівнює 2;

в) кут між векторами  і  дорівнює 120°;

г) ( + )( – ) = 0;

д) вектори  +  і  –  перпендикулярні.

3. Перевірити правильність виконання задач № 55 (4), 56 учнями на дошці та відповісти на запитання, які виникли в учнів класу в ході виконання домашніх завдань.

II. Закріплення та осмислення знань учнів

Розв'язування задач

1. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А (2; - 6; 0), В (-4; 8; 2), D (0;-12;0).

Розв'язання

Оскільки (- 6; 14; 2),  (-2; -6; 0), то  =  + , AC (-8; 8; 2)

(рис. 300).

Тоді =  =  = 2. Відповідь. 2.

2. Знайдіть кут між стороною АС і медіаною ВМ трикутника АВС, якщо А(-3; -5; 1), В(-4; -1; -2) і С(3; 3; 1).

Розв'язання

Кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює куту φ між векторами  та  (рис. 301), або, якщо кут між цими векторами тупий,— куту 180° – φ.

Знайдемо координати точки М: М = М (0; -1; 1).

Тоді (-4; 0; -3), (-3; -4; 0);

cos φ ===  . φ = arccos  — гострий кут. Отже, кут між стороною АС та медіаною ВМ дорівнює arccos .

Відповідь. arccos .

3. Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах  (3;0;-4) і (0;5;0).

Розв'язання                              

Нехай паралелограм ABCD побудований на векторах AB і AD (рис. 302). Площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними:  S =  ·  · sin φ.

 =  = 5;  =  = 5;

cos φ = = = 0 .

Оскільки cos φ = 0 , то φ = 90° . Тоді sin φ = 1 і S = 5 · 5 · 1 = 25.

Відповідь. 25.

4. Задача № 58* із підручника (с. 58).

5. Задача № 61* із підручника (с. 59).

6. Задача № 62* із підручника (с. 59).

III. Домашнє завдання

Розв'язати задачі № 57*, 60 (с. 58—59) та підготуватися до тематич­ної атестації № 6.

IV. Підведення підсумку уроку

У ході фронтальної бесіди з'ясувати алгоритм застосування векторів до розв'язування задач.