ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

Урок 59

Тема. Кут між векторами. Скалярний добуток векторів

Мета уроку: формування понять кута між векторами, скалярного добутку векторів. Формування вмінь учнів застосовувати вивчений матеріал до розв'язування задач.

Обладнання: схема «Вектори в просторі»

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальна бесіда з класом за контрольними запитаннями № 18— 20 з використанням схеми «Вектори в просторі» (див. с. 233).

2. Відповіді на запитання, які виникли в учнів при розв'язуванні за­дач № 51-53.

3. Математичний диктант.

Дано вектори:

Варіант 1 — (3; 0; 4); (7; 0; 2);       

Варіант 2 — (2; -2; 0); (3; 0; -3).

Запишіть:

1) координати вектора  , якщо  =  + , (2 бали)

2) координати вектора , якщо  = 2 - ; (2 бали)

3) довжину вектора  + ; (2 бали)

4) координати вектора , якщо відомо, що довжина вектора  втри­чі більша довжини вектора ; (2 бали)

5) при якому значенні k вектор (k; 0; 6) колінеарний вектору ; (2 бали)

6) чи компланарні вектори ,  та (0; 0; 1)? (2 бали)

Відповідь. Варіант 1. 1) (10; 0; 6). 2) (-1; 0; 6). 3) 2. 4) (-9; 0; -12), (9; 0; 12). 5) k = 21. 6) Так.

Варіант 2. 1) (5; -2; -3). 2) (1; -4; 3). 3) .  4) (6; -6; 0), (-6; 6; 0). 5) k = - 6. 6) Hi.

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів (аx; аy; аz) ∙ (bx; by; bz)  назива­ється число (скаляр)  ·  = аx · bx + аy · by + аz · bz.

Розв'язування задач

1. Знайдіть  · , якщо (-2; 3; 1), (-4; -5; 2).

2. Дано вектори (2; -1; 4), (5; 3; n). При якому значенні п скаляр­ний добуток векторів дорівнює -3?

Із означення скалярного добутку двох векторів  і  випливають його властивості.

1)  ·  =  · .

2) ( + ) ·  =  ·  + · .

3) Скалярний добуток векторів  і  дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними:  ·  =  ·  cos φ (рис. 297).

Доведення

Від точки О відкладемо вектор OВ =  (рис. 298) і ОА = . Виберемо декартову систему координат так, щоб точка О була початком коорди­нат, пряма ОА збіглася з віссю у, вісь z була б перпендикулярна до пря­мої ОА і знаходилася в площині ОАВ, вісь х перпендикулярна до площи­ни уz. Визначимо координати векторів  і :

А(0; || ; 0); B(0; || cos φ; || sin φ); (0; ||; 0); (0; || cos φ; || sin φ).

Знайдемо скалярний добуток:

 ·  = 0 · 0 + || · || cos φ + 0 · || sin φ = || · || cos φ.

Наслідки із властивості 3:

1) 

2) Два відмінні від нуля вектори  і  перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Дійсно, якщо  ·  = 0, то   ·  · cos φ = 0 , cos φ = 0, φ = , і навпаки, якщо φ = 0 , то  ·  =  ·  · cos φ =  ·  · 0 = 0.

Розв'язування задач

1.   Знайдіть  · , якщо  = 5,  = 4, а кут між векторами дорів­нює 120°.                          

2.   Ребро куба дорівнює 4 (рис. 299). Знайдіть  · .

Рис. 299

3.   Чи перпендикулярні вектори (2; 3; 6) і (3; 2; -1)?

4.   При якому значенні т вектори (6; 0; 12) і (-8; 13; m) перпенди­кулярні?

5.   Чи є серед векторів (2; 3; 1), (5; 9; 2), (-3, 1; 3) ортогональні вектори?

6.   Який кут утворюють вектори  (-5; 0; 0) і (0; 3; 0)?

7.   Знайдіть кут між векторами (1; 1; 0) і (1; 0; 1).

8.   Знайдіть cos ABC, якщо А(1; -3; 4), В(2; -2; 6), С(3; 1; 3).

III. Домашнє завдання

§4, п. 35, 36; контрольні запитання № 18—20; задачі № 55 (1; 4), 56 (с. 58).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Що називається скалярним добутком векторів (аx; аy; аz) і (bx; by; bz)?

2) Сформулюйте властивості скалярного добутку векторів.

3) Яка умова ортогональності двох ненульових векторів?

4) У просторі дано вектори (1; 1; -1), (0; -1; 1). Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які — неправильні:

а)   = 1;

б) вектори  і  перпендикулярні;

в) вектори  +  і  не перпендикулярні;

г) ·(+) = 1;

д) вектори  і  +  утворюють кут, косинус якого дорівнює .