ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

Урок 36

Тема. Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати властивість ортогональної проекції точки, рівновіддаленої від сторін многокутника, до розв'язування задач.

Обладнання: стереометричний набір, схема «Коло, вписане в многокутник»

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Перевірити правильність виконання вправ № 42, 48, 53 за записами, зробленими на дошці до початку уроку.

Розв'язання задачі № 42

Нехай ABCD — прямокутник; BS(АВС); SD = с, SC = b, SA = a (рис. 204).

Оскільки ВСCD, то SCCD. Із ΔSDC  DC == .

Оскільки ВАAD, то SAAD.  Із ΔSAD AD = = .

Із ΔSAB  SB = = =  .

Відповідь. ; ; .

Розв'язання задачі № 48

Нехай АВС — рівносторонній трикутник; ВС = 6 см; AD(АВС); AD = 13 см (рис. 205). Проведемо АКВС, тоді DKВС; отже, DK — відстань від точки D до ВС.

Із ΔАСА АК = =  =  (см).

Із ΔADA DK = =  =  = 14 (см).

Відповідь. 14 см.

Розв'язання задачі № 53

Нехай у ΔАВС (С = 90°) AB = а, ВС = b; CD(ABC);  CD = c (рис. 206). Проведемо CKAB, тоді DKAB; отже, DK — відстань від точки D до прямої AB.

Із ΔАВС AC = =.

Оскільки площа трикутника АВС дорівнює

S = ВС · АС = b, або S=AB · CK= a · CK, то b=a · CK; CK = .

Із ΔCDK  DK===

Відповідь. .

2. Самостійна робота.

Варіант. 1

1)  Відрізок SC перпендикулярний до площини рівностороннього три­кутника АВС. Проведіть через точку S перпендикуляр до прямої АВ. (4 бали)

2)  Через точку О перетину діагоналей ромба до його площини прове­дено перпендикуляр OS довжиною 5 см. Знайти відстань від точ­ки S до кожної сторони ромба, якщо діагоналі ромба дорівнюють 40 і 30 см. (8 балів)

Варіант 2

1)  Відрізок SA перпендикулярний до площини рівнобедреного трикут­ника АВС, в якому АВ = AC . Проведіть через точку S перпендику­ляр до прямої ВС. (4 бали)

2)  Катети прямокутного трикутника АВС дорівнюють 9 і 12 см. Через середину гіпотенузи — точку О проведено перпендикуляр до пло­щини трикутника довжиною 6 см. Знайдіть відстані від кінців пер­пендикуляра до катетів. (8 балів)

Варіант 3

1)  Відрізок SD перпендикулярний до площини прямокутника ABCD. Проведіть через точку S перпендикуляри до ВС і АВ. (4 бали)

2)  Сторона правильного трикутника АВС дорівнює 2 см. До пло­щини трикутника проведено перпендикуляр AS довжиною 4 см. Знайдіть відстань від точки S до сторони ВС. (8 балів)

Варіант 4

1)  Відрізок SA перпендикулярний до площини ромба ABCD. Прове­діть через точку S перпендикуляр до прямої BD. (4 бали)

2)  До площини прямокутного трикутника ABC (C = 90°) проведено пер­пендикуляр SB, SA = 13 см, B = 30°, AC = 5 см. Знайдіть відстань від точки S до прямої АС. (8 балів)

Відповідь. Варіант 1. 1) СКАВ, тоді SKАВ (рис. 207); 2) 13 см.

Варіант 2. 1) АKВС, тоді SKВС (рис. 208); 2) 7,5 см і 6см.

Варіант 3. 1) Оскільки DCCB і DA AB, то SCВС, SAАВ (рис. 209); 2) 5 см.

Варіант 4. 1) Оскільки ACBD, то SOAD (рис. 210); 2) 12 см.

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

Розв'язування задачі № 45 (с. 37) із підручника. Після розв'язування цієї задачі слід зробити висновок і записати його в зошити учнів:

Якщо через центр кола, вписаного в многокутник, проведено перпендикуляр до площини многокутника, то кожна точка перпендикуляра рівновіддалена від сторін многокутника.

Теорема.

Якщо точка рівновіддалена від сторін многокутника і основа. перпендикуляра, опущеного з да­ної точки до площини много­кутника, лежить всередині многокутника, то основа перпенди­куляра є центром кола, вписа­ного в многокутник.

Доведення

Нехай К, L, М, N — основи пер­пендикулярів, опущених з точки S на сторони CD, DA, АВ, ВС плоского чотирикутника ABCD (рис. 211), і SO(АВС), SK=SL=SM=SN. ΔSOК=ΔSLO=ΔSMO=ΔSNO (за гіпотенузою і спільним катетом OS); із рівності трикутників випли­ває OK =QL = ОМ = ON (1).

Оскільки SKDC, SLAD, SMAB, SNBC, то за теоремою про три перпендикуляри маємо: OKDC, OLAD, ОМAB, ONBC (2).

Враховуючи (1) і (2), робимо висновок: точка О — центр кола, вписа­ного в чотирикутник ABCD.

Далі слід нагадати формули для знаходження радіуса кола, вписано­го в многокутники, за допомогою наведеної схеми.

Розв'язування задач

1.   Точка О – центр квадрата зі стороною 4 см, АО – пряма, що перпендикулярна до площини квадрата, АО = 2см. Знайдіть від­стань від точки А до сторін квадрата.

2.   Відстань від точки S до сторін квадрата дорівнює 13 см. Знайдіть відстань від точки S до площини квадрата, якщо сторона квадрата дорівнює 10 см.

3.   Точка S на 5 см віддалена від усіх сторін правильного трикутника, медіана якого дорівнює 9 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини трикутника.

4.   Відстань від точки S до сторін правильного трикутника дорівнює 10 см. Знайдіть відстань від точки S до площини трикутника, якщо сторона трикутника дорівнює 16 см.

III. Домашнє завдання

§3, п. 19; задачі № 46, 47 (с. 37—38).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1)  Що називається відстанню від точки до прямої?

2)  Яку властивість має Основа перпендикуляра, опущеного з точки, яка рівновіддалена від вершин многокутника.

3)  Яку властивість має основа перпендикуляра, опущеного з точки, яка рівновіддалена від сторін многокутника, якщо основа перпен­дикуляра лежить всередині многокутника?