ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

УРОК 2

Тема. Існування площини, яка проходить через дану пряму і дану точку

Мета уроку: вивчення теореми про існування площини, яка проходить через дану пряму і дану точку, що не лежить на прямій.

Обладнання: стереометричний набір.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальна бесіда за контрольними запитаннями № 1, 2 §1 із підручника з використанням схеми «Аксіоми стереометрії».

2. Математичний диктант.

Дано зображення тетраедра SABC (варіант 1 — рис. 8, варіант 2 — рис. 9).

Користуючись зображенням, запишіть:

1) точки, які належать площині грані АВС; (2 бали)

2) точки, які не лежать у площині грані АВС; (2 бали)

3) спільні точки площин граней АВС і ABS; (2 бали)

4) пряму перетину площин граней АВС і SBC; (2 бали)

5) площину, яка проходить через прямі АВ і ВС; (2 бали)

6) площину, яка не містить жодної із прямих АВ і ВС. (2 бали)

3. Розв'язування задач № 1, 3 перевірити за записами з пропусками зробленими на дошці до початку уроку.

Розв’язання задачі № 1

Доведемо методом від супротивного. Припустимо, що АВ і СD ..., тоді за аксіомою ... через прямі АВ і CD можна провести ... Отже, точки А, В, С, D лежать в ... площині, що суперечить умові. Таким чином, прямі АВ і СD...

Розв’язання задачі № 3

Нехай дві різні площини α і β мають спільні точки: ... (рис.10). Згідно з аксіомою ... площини ... перетинаються по ..., яка містить точки А, В, С.

Отже, точки ... лежать на ... перетину даних ..., тобто на ... прямій.

IІ. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Теорема про існуванню площини, яка проходить через дану пряму і дану точку

Один спосіб визначення площини в просторі відомий (аксиома С3): дві прямі, які перетинаються, визначають у просторі площину, і до того ж тільки одну.

Другий спосіб задання площини дає теорема:

Через пряму і точку, яка не належить їй, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Нехай АВ — дана пряма і С — точка, яка їй не належить (рис. 11).

Доведення (існування площини).

Доведення (єдність площини).

Доведемо від супротивного. Припустимо, що існує дві площини α і β, які проходять через пряму АВ і, точку С. За аксіомою С2 площини α і β перетинаються по прямій, якій належать А, В, С, що суперечить умові. Отже, площина, яка проходить через пряму і точку, що не належить прямій, єдина.

Завдання.

1. Вкажіть пряму і точку, за допомогою яких можна задати площину основи куба (див. рис. 2), тетраедра (див. рис. 3).

2. Дано зображення куба АВСDА1B1С1D1. Якій площині належать:

а) пряма АВ і точка D; б) пряма ВВ1 і точка С1; в) пряма АС і точка С1 ?

III. Закріплення та осмислення знань учнів

Виконання вправ

1. Доведіть, що через пряму і точку, яка лежить на прямій, можна провести площину.

2. Задача № 7 із підручника (с. 9).

3. Пряма а лежить в площині α. Доведіть, що через пряму а можна провести площину β, відмінну від α.

4. Дано десять точок, які не лежать в одній площині. Чи можуть дев’ять із них лежати на прямій? Відповідь обґрунтуйте.

5. Чи можна через точку О перетину двох даних прямих а і b провести третю пряму с, яка не лежить з прямими а і b в одній площині. Відповідь обґрунтуйте.

6. Задача № 4 із підручника (с. 9).

IV. Домашнє завдання

§1, п. 2; контрольне запитання № 3; задача № 6 (с. 9).

V. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Скільки площин можна провести через пряму а і точку В, яка не належить прямій а?

2) Скільки площин можна провести через пряму а і точку А, яка лежить на прямій а?

3) Через пряму а і точку В можна провести дві різні площини. Як розташовані пряна а і точка B?