АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 9

Тема. Побудова графіків тригонометричних функцій

Мета уроку: побудова графіків функцій у = sin х, у = cos x, у = tg х, у = ctg x.

Формування умінь будувати графіки функцій: у = Asin (kx + b), у = Acos (kx + b), у = Atg (kx + b), у = Actg (kx + b).

І. Перевірка домашнього завдання

1. Один учень відтворює розв'язування вправи № 24 (1—3).

2. Фронтальна бесіда:

1) Назвіть явища в природі, які періодично повторюються.

2) Дайте означення періодичної функції.

3) Якщо функція у = f(x) має періодом число Т, то чи буде пе­ріодом цієї функції число 2Т, 3T...? Відповідь обґрунтуйте.

4) Знайдіть найменший додатний період функцій:  

a) y = cos; б) y = sin ; в) у = tg ;  г) у = .

5) Чи періодична функція у = З? Якщо так, то вкажіть пері­од цієї функції.

II. Побудова графіка функції у = sin х

Для побудови графіка функції у = sin x скористаємось одиничним колом. Побудуємо одиничне коло радіусом 1 см (2 клі­тинки). Праворуч побудуємо систему координат, як на рис. 57.

На вісь ОХ нанесемо точки ; π; ; 2π (відповідно 3 клітинки, 6 клітинок, 9 клітинок, 12 клітинок). Розділимо першу чверть одиничного кола на три рівні частини і на стільки ж частин відрізок  осі абсцис. Перенесемо значення синуса до відповідних точок осі ОХ. Одержимо точки, які треба з'єднати плавною лінією. Потім розділимо другу, третю і четверту чверть одиничного кола також на три рівні частини і перенесемо значення синуса до відповідної точки осі ОХ. Послідовно з'єднавши всі отримані точ­ки, одержимо графік функції у = sin х на проміжку [0;π].

Через те що функція у = sin x періодична з періодом 2π, то для побудови графіка функції у = sin x на всій прямій ОХ досить паралельно перенести побудований графік вздовж осі ОХ на 2π, 4π, 6π... одиниць вліво і вправо (рис. 58).

Крива, яка є графіком функції у = sin x, називається синусої­дою.

Виконання вправ______________________________

1. Побудуйте графіки функцій.

а) у = sin ; б) у = sin 2х; в) у = 2sin х; г) у = sin (-x).

Відповіді: а) рис. 59;  б) рис. 60; в) рис. 61; г) рис. 62.

III. Побудова графіка функції  у = cos x

Як відомо, cos х = sin , тому у = cos x і у = sin  — однакові функції. Для побудови графіка функції у = sin скористаємося геометрич-ними перетвореннями графіків: спочатку побудуємо (рис. 63) графік функції у = sin х, потім у = sin (-х) і наприкінці у = sin  .

Виконання вправ________________________________

1. Побудуйте графіки функцій:

a) y = cos ; б) y = cos ;  в) y = cos х; г) у = |cos x|.

Відповідь: а) рис. 64;  б) рис. 65; в) рис. 66; г) рис. 67.

IV. Побудова графіка функції у = tg x

Графік функції у = tg x побудуємо за допомогою лінії тангенсів на проміжку , довжина якого дорівнює періоду π цієї функції. Побудуємо одиничне коло радіусом 2 см (4 клітинки) і проведемо лінію тангенсів. Праворуч побудуємо систему коор­динат, як на рис. 68.

На вісь ОХ нанесемо точки ;  (6 клітинок). Розділимо першу і четверту чверть кола на 3 рівні частини і на стільки ж частин кожний із відрізків  і . Знайдемо значення тангенсів чисел ; ; 0; ;  за допомогою лінії тангенсів (ординати точок ; ; ; ;  лінії тангенсів). Перенесемо значення тангенсів до відповідних точок осі ОХ. Послідовно з'єднавши всі отримані точки, одержимо графік функції у = tg x на проміжку .

Через те що функція у = tg x періодична з періодом π, для побудови графіка функції у = tg x на всій прямій ОХ досить паралельно перенести побудований графік вздовж осі ОХ на π, 2π, 3π, 4π... одиниць вліво і вправо (рис. 69).

Графік функції у = tg x називається тангенсоїдою.

Виконання вправ

1. Побудуйте графік функцій

а) у = tg 2х; б) у = tgx;  в) у = tg x + 2; г) у = tg (-x).

Відповіді: а) рис. 70;  б) рис. 71; в) рис. 72; г) рис. 73.

V. Побудова графіка функції у = ctg x

Графік функції у = ctg x легко одержати, скориставшись формулою ctg x = tg  і двома геометричними перетвореннями (рис. 74): симетрія відносно осі ΟΥ паралельне перенесення вздовж осі ОХ на .

IV. Домашнє завдання

Розділ І § 6. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 50-51. Вправи № 28 (а-г).

V. Підсумок уроку