АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 8

Тема. Періодичність тригонометричних функцій

Мета уроку: Введення поняття періодичної функції; знаходжен­ня найменших додатних періодів тригонометричних функцій; формування умінь знаходити періоди функцій

у = sin (kx + b), у = cos (kx + b),          

у = tg (kx + b), у = ctg (kx + b).

І. Перевірка домашнього завдання

Проведення самостійної роботи

1.   Побудуйте на одиничному колі точку Рα, на яку відобража­ються початкова точка Р0 (1; 0) при повороті на α рад навко­ло центра, якщо:

Відповідь:

І в.: 1. Рис. 55. 2. , , , . 3. Плюс.

ІІ в.: 1. Рис. 56. 2. , , , .3.мінус.

II. Формування поняття періодичної функції, періодe функції

У природі часто зустрічаються явища, які повторюються пері­одично. Наприклад, Земля при обертанні навколо Сонця періо­дично повертається У своє початкове положення через рік, два роки, три роки і т. д., тому говорять, що період обертання Земля навколо Сонця дорівнює одному року. Періодичний характер мають рухи маховика і колінчатого вала. Властивість періодич­ності мають звукові, електромагнітні явища, робота серця люди­на і т. д. Закономірності періодичних явищ описуються періо­дичними функціями, до вивчення яких ми і приступаємо.

Функція у = f(x) називається періодичною з періодом Т  0, якщо для будь-якого х із області визначення числа х + Т і х – Т також належать області визначення і виконується рівність f(x + Т) =  f(x – Т) = f(x).

Так як одній і тій самій точці Рα одиночного кола відповідає нескінченна множина дійсних чисел α + 2πk, де k  Z, то

sin(α + 2nk) = sin α

cos(α + 2nk) = cos α

Звідси випливає, що 2nk – періоди функції синус і косинус (k  0).

Доведемо, що число 2π є найменшим додатним періодом функ­ції у = cos х. Нехай Τ > 0 – період косинуса, тобто для будь-якого х виконується нерівність cos (х + Τ) = cos x. Взявши х = 0, одер­жимо cos Т = 1. Звідси Τ = 2nk, k  Ζ. Через те що Τ > 0, Τ може дорівнювати 2π, 4π, 6π... і тому період не може бути меншим 2π.

Можна довести, що найменший період функції у = sin x теж дорівнює 2π. Нехай Τ — довільний період синуса. Тоді sin(x + Τ) = sin x для будь-якого х. Взявши х = , одержимо sin  = sin  = 1, але sin  = 1, якщо Т +  =  + 2πn , n  Ζ, тому Τ = 2πn. Найменше додатне число виду 2πn, nΖ є число 2π.

Доведемо, що найменшим додатним періодом функції у = tg х є число π. Нехай Т — додатний період тангенса, тобто tg(x+ Т) = tg х. Взявши х = 0, маємо tg Т = tg 0 = 0. Звідси Т = πn, n  Ζ. Через те що найменше ціле додатне n = 1,  π — найменший період функції у = tg х. Найменшим додатним періодом котангенса теж є число π. Отже,  tg (α + πn) = tg α, ctg (α + πn) = ctg α.

Як правило, слова «найменший додатний період» опускають. Прийнято говорити, що період тангенса і котангенса дорівнює π, а період косинуса і синуса дорівнює 2π.

Справедливе твердження.

Якщо функція у = f(x) періодична і має період Т, то функція у = Af(kx + b), де А,  k,  b — постійні (k  0), також періодична, причому її період дорівнює .

Доведемо це твердження.

Спочатку доведемо, що T0 =  є періодом функції у = Af(kx + b):

Af(k(x + T0) + b) = Af= Af(kx ± T + b) = Af(kx + b ± T) = Af(kx + b).

Нехай T0 — період функції у == Af(kx + b), тобто

Af(k(x + T0) + b)= Af(kx + b),

Af(kx +b+ kT0) = Af(kx +b).

Позначивши kx + b = x1, маємо Af(x + kT0) = Af(x1).

Через те що найменшим періодом функції f(x) є Т, то │k│T0 = Τ, звідси Т0 = .

III. Усвідомлення поняття періодичної функції

Виконання вправ

1. Обчисліть:  a) sin 1470°; б) tg 1860°; в) cos 1140°; г) ctg 1125°.

Відповідь: а) ;  б) ; в) ; г) 1.

2. Знайдіть значення: a) sin ; б) cos ; в) tg ; г) ctg.

Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) 1.

3. Знайдіть найменший додатний період функцій:

а) у = sin2х; б) у = 3cos 4x; в) y = 5tg; г) y=0,6ctg.

Відповідь: а) π; б) ; в) ; г) 4π.

4. Знайдіть значення sin α, якщо:

a) sin (α + 2π) = 0,3;  

б) sin (4π - α) = 0,2; 

в) sin (α + 6π) = 0,5;

г) sin (α - 2π) = 0,1.

Відповідь: а) 0,3; б) -0,2; в) 0,5; г) 0,1.

IV. Підсумок уроку

V. Домашнє завдання

Розділ І § 5. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 47—49. Вправа № 24 (1—3). Повторіть геометричні перетво­рення графіків функцій (таблиця 1 підручника).