АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 58

Тема. Розв'язування логарифмічних рівнянь

Мета уроку. формування умінь учнів розв'язувати логарифмічні рівняння різними методами: зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного; метод потенціювання; зведення логарифмів до однієї і тієї самої основи; метод логарифмування та графічний метод.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Усне розв'язування логарифмічних рівнянь з використанням таблиці 24 для усних обчислень «Логарифмічні рівняння».

Таблиця 24

Логарифмічні рівняння

2. Обговорення запитань, що виникли під час виконання домаш­ніх завдань.

II. Сприймання і усвідомлення різних методів розв'язу­вання логарифмічних рівнянь

1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного.

Приклад. Розв'яжіть рівняння log х – 3log2 x = 4.

Розв'язання

Позначимо log2 x  через у. Дане рівняння набере вигляду:

у2 – 3y = 4; у2 – 3у – 4 = 0; у1 = 4; у2 = -1.

Звідси log2 x = 4, log2 x =-1;

x = 24; x = 2-1; x = 16, x = .

Перевірка: 1) log 16 – 3 log2 16 = 16 – 12 = 4;

2) log – 3 log2  =  -1 + 3 = 4.

Відповідь: 16; .

2. Метод потенціювання.

Приклад. Розв'яжіть рівняння log5(x – 1) + log5(x – 2) = log5(x + 2).

Розв'язання

Пропотенціюємо дану рівність і одержимо:

log5((x – 1)(х – 2)) = log5(x + 2);  (х – 1)(х – 2) = х + 2;   x2 – 2х – х + 2 = х + 2;

x2 – 4х = 0; х(х – 4) = 0; х = 0 або х = 4.

Перевірка:

1)  Значення х = 0 не є коренем рівняння, тому що вирази log5(x – 1) і log5(x – 2) не мають смислу при х = 0.

2)  log5(x–1) + log5(x–2) = log5(4–1) + log5(4–2) = log53 + log52 = log5(2·3) = log56.

log5(x + 2) = log5(4 + 2) = log56.

Отже, х = 4 — корінь.

Відповідь: 4.

3. Метод зведення логарифмів до однієї і тієї ж основи.

Приклад. Розв'яжіть рівняння log3 х – 2х = 3.

Розв'язання

log3 x – 2x = 3; log3 х – 2 ·  = 3; log3 x – 2·  = 3; log3 x + 2log3 x = 3;

3log3 x = 3; log3 x = 1; x = 3.

Перевірка: log3 3 – 23 = 1 + 2 = 3. Отже, х = 3 — корінь.

Відповідь: 3.

4. Метод логарифмування.

Приклад. Розв'яжіть рівняння х lgx  = 100х.

Розв'язання

Прологарифмуємо обидві частини рівності (х > 0), одержимо:

lgx lgx = lg(100x); lgx lgx = lg 100 + lgx; lg2x – lg x – 2 = 0.

Замінимо lg х = у. Рівняння прийме вигляд: у2 – у – 2 = 0; y1 = 2, y2 = -1.

Тоді: 1) lg х = 2; х = 102; х = 100.        

2) lg x = -1; x = 10-1; x = 0,1.

Перевірка: 1) xlgx = 100 lg100 = 1002 ; 100х = 100 · 100 = 1002.

Отже, x = 100 — корінь.

2) xlgx = 0,1lg0,1 = 0,1-1 =  = 10; 100х = 100 · 0,1 = 10.

Отже, x = 0,1 — корінь.

Відповідь: 100; 0,1.

5. Графічний метод розв'язування логарифмічних рівнянь.

Приклад. Розв'яжіть рівняння lg x = 1 – х графічно.

Розв'язання

В одній і тій самій системі координат будуємо графіки функції у = lg x і у = 1 – х (рис. 165). Абсциса точки пере­тину побудованих графіків дорівнює 1. Отже, х = 1 — корінь даного рівняння.

Відповідь: 1.

III. Набуття умінь розв'язувати логарифмічні рівняння

Розв'язування вправ 52 (10; 14), 53 (4; 10), 54 (3; 9).

IV. Підведення підсумків уроку

V. Домашнє завдання

Розділ V § 3. Запитання і завдання для повторення розділу V № 26—31. Вправи №№ 52 (9; 11), 53 (12), 54 (2; 7).