АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 12

Тема. Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Мета уроку: вивчення співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу, формування умінь за­стосовувати вивчені співвідношення для тотожних перетворень (спрощення) виразів, знаходження зна­чень тригонометричних функцій за однією відомою функцією.

І. Аналіз контрольної роботи

II. Мотивація навчання

Дуже часто при розв'язуванні задач виникає проблема: зна­йти значення тригонометричних функцій, якщо задано лише зна­чення однієї з них. Отже, на сьогоднішньому уроці ми повинні згадати формули (залежності), які пов'язують тригонометричні функції одного і того самого аргументу.

III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

1. Співвідношення між синусом і косинусом.

Нехай точка Ρα(х, у) одиничного кола отримана поворотом точки Р0(1; 0) на кут α радіан, тоді згідно з означенням синуса і косинуса: х = cos α, у = sin α (рис. 100)

Оскільки точка Рα(х;у) належить одиничному колу, то координати (х; у) задовольняють рівнянню х2 + у2 = 1. Підставивши в це рівняння замість х і у значення cos α і sin α, отримаємо:

(cos α)2 + (sin α)2 = 1 або (враховуючи, що (cos α)2 = cos2 α, (sin α)2 = sin2 α))   cos2 α + sin2 α = 1.

Таким чином, sin2 α + cos2 α = 1 для всіх значень α. Ця рівність називається основною триго­нометричною тотожністю.

З основної тригонометричної тотожності можна виразити sin α через cos α і навпаки.        

, .

Виконання вправ

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності:

a) cosα =  і sinα = ;    

б) sinα = - і cosα = -; 

в) sinα =  і cosα = - .

при одному і тому самому значенні α?

Відповідь: а) ні; б) так; в) так.

2. Знайдіть cos α, якщо sin α = 0,6 і   < α < π.

Відповідь: cos α = -0,8.

3. Знайдіть sin α, якщо cos α =  і  < α < 2π.

Відповідь: sin α = - .

4. Спростіть вирази:

а) 1 + sin2 α + cos2 α;         

б) 1 – sin2 α – cos2 α;     

в) 2sin2 α + cos2 α – 1;     

г) (1 – cos α)(1 + cos α);        

д) ;                 

є) sin4 α – cos4 α  + 1.

Відповідь: а) 2; 6) 0; в) sin2 α; г) sin2 α; д) tg2α; є) 2sin2α.

5. Доведіть тотожності:

а) (1 – cos 2α)(1 + cos 2α) = sin2 2α;   

6) cos4 α – sin4 α = cos2 α – sin2 α;

в) (sin2 α – cos2 α)2 + 2cos2α sin2α = sin4 α + cos4 α;

г) 2cos2α sin2α + cos4α + sin4α = 1;   

д) sin6 α + cos6 α = 1 – 3sin2α cos2α;

є) .

6. Знайдіть cos α, якщо cos4 α – sin4 α = .

Відповідь: cosα = ±.

2. Співвідношення між тангенсом і котангенсом. Згідно з визначенням тангенса і котангенса, ,        .

Перемноживши ці рівності, одержимо

Отже, tgα · ctgα = 1 для всіх значень α, крім α = , k, kΖ. із одержаної рівності можна виразити tg α через ctg α і навпаки: ; .

Виконання вправ

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності:

a) tg α =  і ctgα = ;  

б) tgα  =  і ctgα = ;

в) tg α = -   і ctg α = 2

при одному і тому самому значенні α?

Відповідь: а) так; б) ні; в) ні.

2. Знайдіть

а) tg α, якщо ctg α = ;    

б) ctg α, якщо tg α = -1; 

в) tg α, якщо ctg α = 0.

Відповідь: а) ; б) -1; в) не існує.

3. Дано: х = 2tg α, у = ctg α. Знайдіть ху.

Відповідь: ху = .

4. Дано tg α + сtg α = 2. Знайдіть tg 2 α + сtg2 α. 

Відповідь: 2.

5. Спростіть:

а) tg α · сtg α – 1;

б) sin2 α – tg α · сtg α;

в) tg 1° · tg 3° · tg 5° · ... · tg 89°.

Відповідь: а) 0; б) – соs α; в) 1.

6. Доведіть тотожності:

а) (tg α + сtg α)2 - (tg α - сtg α)2 = 4;    

б)  ;

в) ;        

г) ;   

є) 4 + (сtg α - tg α)2 = (сtg α + tg α)2.

3. Співвідношення між тангенсом і косинусом, котангенсом і си­нусом.

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn2 α + соs2 α = 1  на соs2α, вважаючи, що соs2α ≠ 0, одержимо:

;  ,

звідси:  , де .

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn2 α + соs2 α = 1 на sіn2 α, вважаючи, що sіn α ≠ 0, одержимо

; ,

звідси:  , де .

Виконання вправ______________________________

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності.

а) tg α =  і соs α = ; 

б) сtg α = 1 і sіn α = ; 

в) tg α =  і sіn α =  при одному і тому ж значенні α?

Відповідь: а) ні; б) так; в) ні.

2. Відомо, що tg α = 2 і  . Знайдіть sіn α, соs α і сtg α.

Відповідь: sіn α =  ; соs α = ; сtg α = .

3. Відомо, що sіn α =  і  0 < α < . Знайдіть соs α, tg α, сtg α.

Відповідь: соs α = ; tg α = ; сtg α = .

4. Відомо, що сtg α = -3 і α — кут IV чверті. Знайдіть sіn α, соs α, tg α.

Відповідь: sіn α = ; соs α =  ; tg α = .

5. Відомо, що соs α =   і α — кут І чверті. Знайдіть sіn α, tg α, сtg α.

Відповідь: sіn α = ; tg α = ; сtg α = .

6. Спростіть вираз:

а) ;      

б) ;             

в) ;

г) ;     

д) ;       

є) .

Відповідь: а) 1; б) 0; в) 0; г) 0; д) ; є) tg α.

7. Доведіть тотожності:

а)    ;   

б) (1 – сtg α)2 + (1 + сtg α)2 = ;

в) ;

г) .

III. Підведення підсумків уроку

IV. Домашнє завдання

Розділ І § 8. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 56-58. Вправи № 40 (1; 2; 4; 10), № 44 (1; 2).