Готові домашні завдання 9 клас - Розв'язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 4. ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ

§ 16. Довжина кола. Довжина дуги кола

Початковий рівень

764. 1) R — початковий радіус; 2R — радіус збільшений.

— довжина першого кола;

— довжина другого кола.

С₂ : С₁ = 2. Отже, довжина кола збільшиться у 2 рази.

Отже, довжина кола збільшиться у 5 разів.

765. 1) Зменшиться у 3 рази. 2) Зменшиться у 10 разів.

Середній рівень

766. Оскільки d - R = R, то R = 6 (см).

С = 2πR = 2 ∙ 3,14 ∙ 6 = 37,68 (см).

767. R = 8, тоді С = 2πR = 2 ∙ 3,14 ∙ 8 = 50,24 (см).

— довжина нитки.

— довжина дроту.

Достатній рівень

774. R — початковий радіус;

С₁ = 2πR — довжина початкового кола;

(R - 4) — радіус нового кола;

С₂ = 2π(R - 4) = 2πR - 8π — довжина нового кола.

Довжина нового кола зменшилась на 8π ≈ 25,12 (см).

збільшилась довжина кола.

звідси

центральний кут, що відповідає дузі, яку описує кінець стрілки за 25 хв.

— довжина одного оберта вала.

7,6 м = 760 см

760 : 94,2 ≈ 8,068 ≈ 8,1 см обертів треба зробити, щоб витягнути відро води.

8,1 ≈ 8.

— довжина 1 витка мотузки.

1,4 м = 140 м.

140 : 22,608 ≈ 6,19 ≈ 6 повних витків треба зробити, щоб намотати мотузку.

Нехай АВ — дана хорда, ∠АОВ = 90°.

Тоді з ΔАОВ:

Нехай АВ — дана хорда, тоді ∠AОВ = 60°. Тоді ΔАОВ — рівносторонній, ОА = АВ = 8 (см). ОА = R; R = 8 см.

Spoмбa = AD ∙ hAD; 8 ∙ hAD = 32; hAD = 4, a hAD = d — діаметр даного кола.

— гіпотенуза прямокутного трикутника.

Високий рівень

АВ — дана хорда, АВ = а, ∠АОВ = 60°. Тоді ΔАОВ — рівносторонній, ОА = R = a.

AB — хорда, OA = R; AB = a; ∠AOB = 120°.

Тоді

ΔОАВ — рівносторонній, тому АВ = 6(см).

ΔОАВ — прямокутний;

У трапеції ABCD: AB = ВС = CD.

ВК ⊥ AD; CM ⊥ AD, тоді KM = ВС = 6 см;

У ΔCMD: ∠D = 60°, бо

О — середина AD. У ΔOCD: OD = CD; ∠D = 60°, тоді ΔOCD — рівносторонній, OD = ОС = R. Аналогічно: ОА = ОВ = 6 см, тоді ОА = ОВ = ОС = OD; О — центр описаного кола, R = 6 см. С = 2πR = 2π ∙ 6 = 12π (см).

АВ і CD —хорди, AB || CD. АВ = 12 см; CD = 16 см. MN ⊥ AB; MN = 14 см.

MN проходить через О — центр кола.

ОМ ⊥ AB; М — середина АВ, MB = 6 см. Аналогічно: N — середина CD; ND = 8 см. Нехай ОМ = х см, тоді ON = (14 - х) см.

З ΔОМВ: ОВ² = 6² + x².

З ΔOND: OD² = 8² + (14 - х)².

ОВ² = OD², бо ОВ = OD = R, тоді 6² + х² = 8² + (14 - х)²; 36 + х² = 64 + 196 — 28x + х²; 28х = 224; х = 224 : 28; х = 8.

Тоді ОВ² = 6² + 8² = 100; ОВ = R = 10 (см). С = 2πR = 2 ∙ π ∙ 10 = 20π (см).

791. Три кола дотикаються зовнішнім дотиком, тоді коло, що проходить через їх центри, — це коло, що описане навколо трикутника зі сторонами 2 + 3; 3 + 27; 2 + 27, тобто 5 см; 30 см; 28 см.

Вправи для повторення

792. 1) Нехай АВ = 3х; ВС = 4х; СА = 5х, тодi

Так як відношення сторін рівні між собою, то ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁.

Тому трикутники не подібні.

ΔABC — правильний, ∠A = 60°.

MQ = QE = a.

Нехай AQ = AM = BN = PB = CF = CE = x. Тоді з ΔAMQ: MQ² = AM² + AQ² - 2AM ∙ AQ;

Отже, AQ = a; QE = a; EC = a.

Тоді АВ = BC = AC = a см.

796. — правильнa рівність, бо