Готові домащні завдання 9 клас - Розв'язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 2. Квадратична функція

§ 11. Функція у = ах² + bх + с, а ≠ 0. Її графік і властивості

420. Квадратичними є функції: у = 4х² - 7х + 5; у = 3х²; у = 9х² - 7.

421. Параболою є функції:

у = 6x² - 7, вітки напрямлені вгору;

у = -6x² + 5x + 5, вітки напрямлені униз;

у = 0,01x², вітки напрямлені вгору;

у = -0,2x² — 5x, вітки напрямлені униз.

422. 1) А(0; 0) належить графіку функції у = x² — 3x, оскільки 0² - 3 ∙ 0 = 0.

2) В(1; 2) не належить графіку функції у = x² - 3х, оскільки 1² - 3 ∙ 1 = -2 ≠ 2.

3) С(2; -3) не належить графіку функції у = x² - 3х, оскільки 2² - 3 ∙ 2 = -2 ≠ -3.

4) D(-1; 4) належить графіку функції у = x² - 3х, оскільки (-1)² - 3 ∙ (-1) = 4.

423. 1) А(0; 1) не належить графіку функції у = х² + х, оскільки 0² + 0 = 0 ≠ 1.

2) В(2; 6) належить графіку функції у = х² + x, оскільки 2² + 2 = 6.

3) С(1; 2) належить графіку функції у = х² + х, оскільки 1² + 1 = 2.

3) D(-1; 1) не належить графіку функції у = x² + x, оскільки (-1)² + (-1) = 0 + 1.

424. 1) рис.

y = 10x²;

2) рис.

y = -15x²;

425. 1) рис.

y = -7x²;

2) рис.

у = 5x².

Середній рівень

2) рис.

5) Функція зростає на проміжку (0; +∞); спадає на проміжку (-∞; 0).

2) рис.

5) Функція зростає на проміжку (0; +∞); спадає на проміжку (-∞; 0).

точок перетину немає;

точок перетину немає;

430. рис.

1) у = x² — 8x + 7. Графік функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору.

Координати вершини:

Точка (4; -9) — вершина параболи. Тоді пряма x = 4 є віссю симетрії параболи. Знайдемо нулі функції: x² — 8x + 7 = 0; x₁ = 7, x₂ = 1.

2) у = -x² + 2x - 3. Графіком функції є параболи, гілки якої напрямлені униз.

Координати вершини:

Точка (1; 0) — вершина параболи. Тоді x = 1 є віссю симетрії параболи.

Знайдемо нулі функції: -x² + 2x - 3 = 0; x² — 2x + 3 = 0. Нулів функція не має.

3) y = 0,2X² - 0,4X + 2.

Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору.

Координати вершини параболи:

Точка (1; 1,8) — вершина параболи. Пряма x = 1 є віссю симетрії параболи.

рис. Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи:

4) у = -2x² + 6x - 3.

Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені униз.

Координати вершини параболи:

Точка (1,5; 1,5) — вершина параболи. Пряма x = 1,5 — вісь симетрії параболи.

рис. Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи:

431. 1) рис. у = 3x² — 12x + 7. Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору.

Координати вершини параболи:

2) у = -2х² + 8x - 3.

Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені униз.

Координати вершини параболи:

432. — точки перетину з віссю Оx; y = 0 — 0 + 10 = 10 — точка перетину з віссю Оу;

— точки перетину з віссю Оx; y = 0 + 0 - 3 = -3 — точка перетину з віссю Оу;

— точки перетину з віссю Ох; у = -0² + 8 ∙ 0 + 9 = 9 — точка перетину з віссю Оу;

точки перетину з віссю Ох; у = -3 ∙ 0² — 5 ∙ 0 + 2 = 2 — точка перетину з віссю Оу.

433. — точки перетину з віссю Ох; у = 0² + 4 ∙ 0 - 5 = -5 — точка перетину з віссю Оу;

— точки перетину з віссю Ох; у = -5 ∙ 0 — 6 ∙ 0 - 1= -1 — точка перетину з віссю Оу.

434. 1) у = х² - 2х.

Координати вершини параболи:

Точки перетину з віссю Ох: х² - 2х = 0; х(х - 2) = 0; х₁ = 0, х₂ = 2.

Точки перетину з віссю Оу: у = 0² — 2 ∙ 0 = 0.

Гілки параболи напрямлені вгору.

2) у = -х² + 6х.

Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені униз.

Координати вершини параболи:

Точки перетину з віссю Ох: -х² + 6х = 0; х(-х + 6) = 0; x₁ = 0, х₂ = 6.

Точки перетину з віссю Оу: у = 0.

3) у = х² + 4х + 5.

Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору.

Координати вершини параболи:

Точок перетину з віссю Ох немає.

Точка перетину з віссю Оу: у = 5.

4) у = -х² + 2х + 3.

Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені униз.

Координати вершини параболи:

Точки перетину з віссю Ох: -х² + 2х + 3 = 0; х² - 2х - 3 = 0; х₁ = 3, х₂ = -1.

Точка перетину з віссю Оу: у = 3.

435. 1) у = х² + 4х.

Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору.

Координати вершини параболи:

Точки перетину з віссю Ох: x² + 4х = 0; х(х + 4) = 0; х₁ = 0, х₂ = -4.

Точка перетину з віссю Оу: у = 0.

2) у = -x² + 2х.

Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені униз.

Координати вершини параболи:

Точки перетину з віссю Ох: -x² + 2x = 0; х(-х + 2) = 0; x₁ = 0, х₂ = 2.

Точка перетину з віссю Оу: у = 0.

3) у = х² + 2х + 2.

Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору.

Координати вершини параболи:

Точки перетину з віссю Ох: х² + 2х + 3 = 0; D = 4 - 4,3 = -8. Точок перетину з віссю Ох немає.

Точка перетину з віссю Оу: у = 3.

4) у = -х² + 4х - 3.

Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені униз.

Координати вершини параболи:

Точки перетину з віссю Ох: -х² + 4x - 3 = 0; х² - 4х + 3 = 0; x₁ = 3, x₂ = 1.

Точка перетину з віссю Оу: у = -3.

Достатній рівень

436. f(x) = х² + 2х — 3. Координати вершини:

Точки перетину з віссю Ох: х² + 2х - 3 = 0; x₁ = -3, x₂ = 1.

Точка перетину з віссю Оу: f(0) = -3.

1) f(1) = 0; f(-2,5) = -1,75; f(1,5) = 1,75.

2) Якщо f(x) = 5, х = -4 і х = 2; якщо f(x) = -4, х = -1; якщо f(x) = -2, х = -2,4 і х = 0,4.

3) f(x) ≥ 0, якщо -∞ ≤ x ≤ -3 i 1 ≤ x ≤ +∞.

4) f(x) > 0, якщо -3 < х < 1.

5) Найменше значення функції у = -4; найбільшого немає.

6) Область значень функції: [-4; +∞).

7) Функція зростає, якщо х є [-1; +∞); спадає, якщо x є (-∞; -1].

437. g(x) = -х² + 6х - 5.

Координати вершини параболи:

Точки перетину з віссю Ох: -х² + 6x - 5 = 0; х² — 6x + 5 = 0; x₁ = 1, x₂ = 5.

Точка перетину з віссю Оу: у = -5.

1) g(1) = 0; g(2,5) = 3,75; g(4,5) = 1,75.

2) Якщо g(x) = 4, x = 3; якщо g(x) = -5, x = 0; якщо g(x) = 2, x = 3.

3) Нулі функції: x = 1 і x = 5.

4) g(x) > 0, якщо x є (1; 5); g(x) ≤ 0, якщо x є (-∞; 1] U [5; +∞).

5) Найбільше значення у = 4, найменшого значення немає.

6) Область значень: (-∞; 4].

7) Зростає на проміжку (-∞; 3], спадає на проміжку [3; +∞).

438. Оскільки графік функції є парабола з вершиною в початку координат, то вона має вигляд у = ах². Оскільки графік функції проходить через точку маємо: Отже, отримали функцію

439. 1) y = -4х² + 8х.

Координати вершини параболи:

Точки перетину з віссю Ох: -4х² + 8х; 4х(-х + 2) = 0; х₁ = 0, х₂ = 2.

Точка перетину з віссю Оу: у = 0.

а) Область значень: (-∞; 4].

б) Нулі функції: x₁ = 0, x₂ = 2.

в) Функція зростає на проміжку (-∞; 1]; функція спадає на проміжку [1; +∞).

г) у > 0 на проміжку (0; 2); у ≤ 0 на проміжках (-∞; 0] U [2; +∞).

2) у = 2х² - 8х + 6.

Координати вершини параболи:

Точки перетину з віссю Ох: 2х² - 8х + 6 = 0; х² - 4х + 3 = 0; х₁ = 3, х₂ = 1.

Точка перетину з віссю Оу: у = 6.

а) Область значень: [-2; +∞).

б) Нулі функції: х₁ = 3, х₂ = 1.

в) Функція зростає на проміжку (2; +∞); спадає на проміжку (-∞; 2).

г) у ≥ 0, якщо x є (-∞; 1) U [3; +∞); у < 0, якщо х є (1; 3).

Координати вершини параболи:

Точки перетину з віссю Ох: х² + 4х - 5 = 0; х₁ = -5, х₂ = 1.

Точка перетину з віссю Оу: у = -5.

а) Область значень функції: [-0; +∞).

б) Нулі функції: x₁ = -5, х₂ = 1.

в) Функція зростає на проміжку (-2; +∞); спадає на проміжку (-∞; -2).

г) у ≥ 0, якщо х є (-∞; -5] U [1; +∞); у< 0, якщо х є (-5; 1).

Координати вершини параболи:

Точки перетину з віссю Ox: x₁ = -1, х₂ = 2.

Точка перетину з віссю Оу: у = -6.

а) Область значень: (-8; +∞).

б) Нулі функції x₁ = -1, х₂ = 3.

в) Функція зростає на проміжку (1; +∞); спадає на проміжку (-∞; 1).

г) у ≥ 0 на проміжках (-∞; -1) і (3; +∞); у < 0, якщо х є (-1; 3).

440. 1) y = 2x² - 6x.

Координати вершини параболи:

Нулі функції: 2x² — 6x = 0; 2x(x - 3) = 0; x₁ = 0, х₂ = 3.

а) Область значень: [-4,5; +∞).

б) Нулі функції х₁ = 0, х₂ = 3.

в) Функція зростає на проміжку (1,5; +∞); спадає на проміжку (-∞; 1,5).

г) у ≥ 0, якщо х є (-∞; 0] U [3; +∞); у < 0, якщо х є [0; 3).

2) y = -3х² + 12х - 9.

Координати вершини параболи:

Точки перетину з віссю Ох: -3x² + 12x - 9 = 0; 3х² — 12x + 9 = 0; х² - 4х + 3 = 0; x₁ = 3, x₂ = 1.

Точка перетину з віссю Oу: y = -9.

а) Область значень: (-∞; 3].

б) Нулі функції: x₁ = 3, x₂ = 1.

в) Функція зростає на проміжку (-∞; 2); спадає на проміжку (2; +∞).

г) у ≥ 0, якщо x є [1; 3]; у < 0, якщо x є (-∞; 1) U (3; +∞).

441. Оскільки графік функції у = ах² + 2х + 3 проходить через точку А(1; 5), маємо: -5 = а + 21 + 3; а = -10.

Відповідь: а = -10.

442. Оскільки графік функції у = 2x² + bх + 5 проходить через точку А(1; 9), маємо: 9 = 2 ∙ 1 + b + 5b = 9 - 7; b = 2.

Відповідь: b = 2.

443. 1) Координати вершини параболи: точка x_в — є вісь симетрії. За умовою маємо:

Відповідь: 1) b = 2; 2) b = -10.

444. Оскільки а за умовою x_в = -1, маємо:

Відповідь: а = -3.

445. 1) Якщо абсциса дорівнює ординаті, тоді х = у. Отже, маємо: x = x² — 6x + 10; x² — 7x + 10 = 0; x₁ = 5, x₂ = 2. Тоді точки (2; 2) і (5; 5) — точки, в яких абсциса дорівнює ординаті.

2) Якщо абсциса і ордината — протилежні числа, тоді x = -у. Отже, маємо: -x = x² — 7x + 8; x² — 6x + 8 = 0; x₁ = 2, x₂ = 4. Тоді точки (4; -4), (2; -2) — точки, в яких абсциса і ордината — протилежні числа.

Відповідь: 1) (2; 2), (5; 5); 2) (4; -4), (2; -2).

446. 1) Якщо абсциса точки параболи дорівнює ординаті, то x = у. Отже, маємо: x = x² — 5x; x² — 6x = 0; x(x - 6) = 0; x₁ = 0, x₂ = 6. Тоді точки (0; 0) і (6; 6) — точки, в яких абсциса дорівнює ординаті.

2) Якщо абсциса і ордината — протилежні числа, тоді x = -у. Отже, маємо: -x = x² + 2x - 10; x² + 3x - 10 = 0; x₁ = -5, x₂ = 2. Тоді точки (-5; 5) і (2; -2) — точки, в яких абсциса і ордината — протилежні точки.

Відповідь: 1) (0; 0), (6; 6); 2) (-5; 5), (2; -2).

447. 1) y = x² — 2x + 3. Графіком функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору. Нулів функція не має, отже, всі точки параболи лежать вище осі Ох.

2) у = -x² — 4x - 5. Графіком функції є параболи, гілки якої напрямлені униз. Нулів функція не має, отже, всі точки параболи лежать нижче осі Оx.

Отже, параболи у = 2x² — 7x + 13 і пряма у = 2x + 3 перетинаються в точках (2,5; 8) і (2; 7).

Відповідь: (2,5; 8), (2; 7).

Отже, парабола у = 5x² — 7x - 3 і пряма у = -х - 4 перетинаються в точках: (1; -5) i

Відповідь:

Відповідь: ≈ 10,6 с.

Високий рівень

451. s = 50t — 5t².

1) 125 м;

2) стріла летіла вгору 5 с; падала вниз 5 с;

3) стріла впала на землю через 10 секунд після запуску.

452. h = 15t — 5t².

1) 4,25 м;

2) 1,5 с — рухався вгору; 1,5 с — падав униз;

3) м’яч упав на землю через 3 с.

453. Оскільки а за умовою

Відповідь: b = -10, с = 32.

454. Оскільки а за умовою

Відповідь: а = 2, с = 5.

Оскільки парабола перетинає вісь ординат в точці N(0; 7), то маємо 7 = а ∙ 0² + b ∙ 0 + с; с = 7.

Отже, а = 1; b = -6; с = 7.

звідки b = -6а. Точка М(3; -2) належить графіку, отже, -2 = а ∙ 3² + b ∙ 3 + 7; 9а +

Відповідь: а = 1, b = -6, с = 7.

456. Оскільки гілки параболи напрямлені униз, то найбільшим значенням функції у = -x² + 6х + с є

Відповідь: с = 7.

457. Оскільки гілки параболи напрямлені вгору, то найменшим значенням функції у = х² - 4х + с є

Відповідь: с = 8.

458. Функція у = х² + 8х + с набуває лише додатних значень для всіх значень х, тобто вона не має нулів, отже, D = b²- - 4ас < 0; D = 64 - 4 ∙ с < 0; 4с < 64; с > 16.

Відповідь: с > 16.

459. Функція у = x² + 2х + с набуває лише від’ємних значень для всіх значень х, тобто вона не має нулів, отже, D = b² - 4ас < 0; D = 4 + 4с < 0; с < -1.

Відповідь: с < -1.

2) рис. у = |х² - 6х + 5|.

461. 1) рис. у = х² - 4|х| + 3.

2) рис. у = |х² - 4х + 3|.

Вправи для повторення

462. рис. 1) .

Графік функції отримаємо із графіка функції y = √x перенесенням його по осі Ох на 2 одиниці вліво.

2) у = √x + 2.

Графік функції у = √x + 2 отримаємо з графіка функції у = √х перенесенням його по осі ординат на 2 одиниці вгору.

Відповідь: 1) 0; 2; 2) -2; 1.

465. рис.

Відповідь: -3; 2.

466. рис. x = 1 — є розв’язком рівняння

Відповідь: х = 1.

х = 1, х = -2 — не входить в ОДЗ рівняння.

х = 0 — не входить в ОДЗ рівняння.

Відповідь: 1) -3; 3; 2) -2; 2; 3.

468. Правильно розв’язали завдання № 30 121 716 + 6,06% = 7376 учнів.

Відповідь: 7376 учнів.

469. 1) (-2)² + 2 ∙ (-2) - 3 = 4 — 4 — 3 = -3 < 0; -2 не є розв’язком нерівності;

(-1)² + 2 ∙ (-1) -3 = 1 — 2 - 3 = -4 < 0; -1 не є розв’язком нерівності;

0² + 2 ∙ 0 - 3 = -3 < 0; 0 не є розв’язком нерівності;

1² + 2 ∙ 1 - 3 = 0; 1 не є розв’язком нерівності;

2² + 2 ∙ 2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0; 5 є розв’язком нерівності;

2) (-2)² + (-2) - 2 = 4 — 2 ∙ 2 = 0; -2 є розв’язком нерівності;

(-1)² - 1 — 2 = 1 — 1 - 2 = -2 < 0; -1 є розв’язком нерівності;

0² + 0 - 2 = -2 < 0; -2 є розв’язком нерівності;

1² + 1 - 2 = 0; 1 є розв’язком нерівності;

2² + 2 - 2 = 4 + 2 ∙ 2 = 4 > 0; 2 не є розв’язком нерівності;

3) (-2)² + (-2) = 4 - 2 = 2 > 0; 2 не є розв’язком нерівності;

(-1)² + (-1) = 1 - 1 = 0; -1 є розв’язком нерівності;

0² + 0 = 0; 0 є розв’язком нерівності;

1² + 1 = 2 > 0; 1 є розв’язком нерівності;

2² + 2 = 6 > 0; 2 є розв’язком нерівності;

4) (-2)² - 3 ∙ (-2) = 4 + 6 = і 0 > 0; -2 не є розв’язком нерівності;

(-1)² - 3 ∙ (-1) = 1 + 3 = 4 > 0; -1 не є розв’язком нерівності;

0² - 3 ∙ 0 = 0; 0 не є розв’язком нерівності;

1² — 3 ∙ 1 = 1 - 3 = -2 < 0; 1 є розв’язком нерівності;

2² — 3 ∙ 2 = 4 - 6 = -2 < 0; 2 є розв’язком нерівності;

470. 1) x² — 3x - 4 = 0. За теоремою Вієта маємо: х₁ + х₂ = 3, звідси х₁ = 4, х₂ = -1;

Відповідь: 1) -1; 4; 2) -1; 2,5; 3) -18; 0; 4) -3/2; 3/2.

471. Треба поділити на 11, оскільки 180 : 11 = 16 (остача 4); 25% від 16 = 4.

Домашня самостійна робота № 2

1. f(-1) = 2. Правильна відповідь: В.

2. Вгору. Правильна відповідь: Б.

3. Функція у = -2х² + 3х + 7 — квадратична. Правильна відповідь: А.

4. х² - 4х = 0; х(х - 4) = 0; х₁ = 0, х₂ = 4. Правильна відповідь: Г.

5. 2х + 5 = 7; 2х = 2; х = 1. Правильна відповідь: В.

6. -3х² = 9х; -3х² - 9х = 0; 3х² + 9х = 0; 3х(х + 3) = 0; х₁ = 0, х₂ = -3; y₁ = 0, у₂ = -27.

Отже, точки (0; 0) і (-3; -27) є точками перетину графіків функції у = -3х² і у = 9x. Правильна відповідь: Б.

7. рис.

Е(у) = (-∞; -2]. Правильна відповідь: В.

8. рис.

Функція зростає на проміжку [4; +∞). Правильна відповідь: Г.

Область визначення (-∞; 9). Правильна відповідь: А.

10. Е(у) = (-∞; 4]. Правильна відповідь: B.

с - 1 = 4; с = 5. Отже, а = 1, с = 5. Правильна відповідь: Б.

Отже, функція має два нулі. Правильна відповідь: Б.

Завдання для перевірки знань до §§ 8-11

2. 1) Графік функції у = х² перенести на 5 одиниць вгору по осі Оу.

2) Графік функції у = x² перенести вліво на 5 одиниць по осі Ох.

3. Функції у = х² - 4х і у = х² + х + 3 є квадратичними.

5. рис.

8. рис. у = х² - 2х - 3; у = (х - 1)² - 4.

1) Область значень є проміжок [-4; +∞).

2) Функція зростає на проміжку (1; +∞); спадає на проміжку (-∞; 1).

Отже, b = -8, с = 7.

Відповідь: b = -8, с = 7.

10. рис. х = 6 — корінь рівняння.

Відповідь: 6.

Відповідь: рівняння має два корені.